Verifique se
é contínua nos pontos
e
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa verificar se a função
é contínua nos pontos
e
. Para isso, vamos usar o conceito de continuidade que diz que uma função é contínua em um ponto se o limite dela nesse ponto for igual ao valor da função no próprio ponto. Vamos precisar calcular limites e entender um pouco sobre funções de várias variáveis.
Passo 2
Vamos começar verificando a continuidade em
.
A função
é definida por:
Queremos ver se:
Para calcular esse limite, vamos mudar para coordenadas polares, onde
e
. Assim,
, e quando
, estamos chegando no ponto
.
Substituindo na função:
Simplificando o expoente:
Então:
À medida que
,
, então:
Como o limite tende ao infinito e não ao valor da função em
, que é 0, a função não é contínua em
.
Passo 3
Agora, vamos verificar a continuidade em
.
Aqui,
, então a função é dada por:
Queremos ver se:
A função
é uma combinação de funções contínuas onde
. Como estamos nos aproximando de
e
, todas as partes da função são contínuas nesse ponto.
Portanto:
Isso mostra que a função é contínua em
.
Resposta
A função
não é contínua no ponto
e é contínua no ponto
.