Verifique se f é contínua nos pontos (0,0) e 1,1. f(x, y) = { e^(-y^2 - x^2 - 1) / (x^2 + y^2) se (x, y) ≠ (0, 0) ; 0 se (x, y) = (0, 0) }

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa verificar se a função é contínua nos pontos e . Para isso, vamos usar o conceito de continuidade que diz que uma função é contínua em um ponto se o limite dela nesse ponto for igual ao valor da função no próprio ponto. Vamos precisar calcular limites e entender um pouco sobre funções de várias variáveis.

Passo 2

Vamos começar verificando a continuidade em .
A função é definida por:
Queremos ver se:
Para calcular esse limite, vamos mudar para coordenadas polares, onde e . Assim, , e quando , estamos chegando no ponto .
Substituindo na função:
Simplificando o expoente:
Então:
À medida que , , então:
Como o limite tende ao infinito e não ao valor da função em , que é 0, a função não é contínua em .

Passo 3

Agora, vamos verificar a continuidade em .
Aqui, , então a função é dada por:
Queremos ver se:
A função é uma combinação de funções contínuas onde . Como estamos nos aproximando de e , todas as partes da função são contínuas nesse ponto.
Portanto:
Isso mostra que a função é contínua em .

Resposta

A função não é contínua no ponto e é contínua no ponto .

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