Determine o limite, se existir, ou mostre que não existe
\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{3}{x^{2}+2 y^{2}}

Passo 1

O enunciado pede para determinar o comportamento de
lim(x,y)to(0,0) 3x^2+2y^2
que é um limite de função de duas variáveis. Vamos usar a definição de divergência para +infty, mostrando que à medida que (x,y) se aproxima de (0,0) o quociente cresce sem limite.

Passo 2

Observe que, para todo (x,y)neq(0,0),
x^2+2y^2>0,
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3x^2+2y^2>0
Isso significa que a função é sempre positiva, e se conseguirmos mostrar que ela pode ficar arbitrariamente grande perto de (0,0), o limite será +infty.

Passo 3

Seja de<a>0 e considere todo (x,y) tal que
0<raizx^2+y^2<de<a
Então
x^2+2y^2<= x^2+2y^2+y^2=x^2+y^2+y^2<= x^2+y^2+x^2+y^2=2(x^2+y^2)<2de<a^2
Desse modo,
3x^2+2y^2;>=;32de<a^2

Passo 4

Dado qualquer M>0, escolha de<a tal que
32de<a^2>M,
por exemplo de<a<raiztfrac32M. Então, sempre que
0<raizx^2+y^2<de<a,
teremos
3x^2+2y^2>M
Isso é exatamente a definição de
lim(x,y)to(0,0)3x^2+2y^2=+infty.

Resposta

O limite não existe como número finito; diverge para +infty.

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