Determine o limite, se existir, ou mostre que não existe
\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{3}{x^{2}+2 y^{2}}
\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{3}{x^{2}+2 y^{2}}
Passo 1
O enunciado pede para determinar o comportamento de
que é um limite de função de duas variáveis. Vamos usar a definição de divergência para
, mostrando que à medida que
se aproxima de
o quociente cresce sem limite.
Passo 2
Observe que, para todo
,
logo
Isso significa que a função é sempre positiva, e se conseguirmos mostrar que ela pode ficar arbitrariamente grande perto de
, o limite será
.
Passo 3
Seja
e considere todo
tal que
Então
Desse modo,
Passo 4
Dado qualquer
, escolha
tal que
por exemplo
. Então, sempre que
teremos
Isso é exatamente a definição de
.
Resposta
O limite não existe como número finito; diverge para
.