Determine o limite, se existir, ou mostre que não existe
\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{x y(x-y)}{x{4}+y{4}}
\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{x y(x-y)}{x{4}+y{4}}
Passo 1
O enunciado pede o limite da função de duas variáveis
quando
. Isso é um limite de função de duas variáveis, então um jeito eficaz de testar se existe (e qual é) é estudar o comportamento de
ao longo de diferentes trajetórias que se aproximam de
.
Passo 2
Considere a reta genérica
, com
constante. Substituindo em
:
Passo 3
Note que, para
e
, o fator
é um número não nulo, e portanto
com . À medida que
, isso diverge para
ou
, dependendo do sinal de
. Já para
ou
, o numerador vira zero e
.
é um número não nulo, e portanto
com
Passo 4
Como ao longo de retas com
a função fica não limitada (tende a
), mas ao longo de
ou
temos
, o valor de
ao se aproximar de
depende do caminho escolhido. Logo, o limite não existe.
Resposta
O limite não existe.