Determine o limite, se existir, ou mostre que não existe
\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{x y(x-y)}{x{4}+y{4}}

Passo 1

O enunciado pede o limite da função de duas variáveis
f(x,y)=x,y,(x-y)x^4+y^4
quando (x,y)to(0,0). Isso é um limite de função de duas variáveis, então um jeito eficaz de testar se existe (e qual é) é estudar o comportamento de f ao longo de diferentes trajetórias que se aproximam de (0,0).

Passo 2

Considere a reta genérica y=kx, com k constante. Substituindo em f:
f(x,kx) =x,(k x),l(x-kxr)x^4+(k x)^4 =k,x^2,x(1-k)x^4l(1+k^4r) =k(1-k)1+k^4;1x

Passo 3

Note que, para kneq0 e kneq1, o fator
k(1-k)1+k^4
é um número não nulo, e portanto
f(x,kx)sim Ccdot1x
com Cneq0. À medida que xto0, isso diverge para +infty ou -infty, dependendo do sinal de C. Já para k=0 ou k=1, o numerador vira zero e f(x,kx)=0.

Passo 4

Como ao longo de retas com kneq0,1 a função fica não limitada (tende a pminfty), mas ao longo de y=0 ou y=x temos f=0, o valor de f(x,y) ao se aproximar de (0,0) depende do caminho escolhido. Logo, o limite não existe.

Resposta

O limite não existe.

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