Resolva as seguintes equações diferenciais:
y^(3)-y^prime prime+y^prime-y=e^x-e^-x+5

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da EDO linear de 3ª ordem com coeficientes constantes
y^(3) - y'' + y' - y = e^x - e^-x + 5
O método é separar a solução em complementar yc (resolvendo a homogênea) e particular yp (encontrando um “chute” adaptado ao lado direito).

Passo 2

Para a parte homogênea escrevemos a equação característica
r^3 - r^2 + r - 1 = 0
Fatorando por agrupamento:
r^2(r-1) + (r-1) = (r^2+1)(r-1)=0,
logo as raízes são r=1 e r=pm i. Assim
yc = C1 e^x + C2cos x + C3sin x

Passo 3

Para a solução particular, note que e^x aparece em yc como raiz simples, então multiplicamos por x. Compondo com as demais partes do RHS, propomos
yp = A,x e^x ;+; B,e^-x;+;C

Passo 4

Calculando as derivadas e substituindo em y^(3)-y''+y'-y, chega-se a
y^(3)-y''+y'-y = 2A,e^x ;-;4B,e^-x;-;C
Igualando ao lado direito e^x - e^-x +5 obtemos o sistema
2A = 1, -4B = -1, -C = 5,
cuja solução é
A = tfrac12, B = tfrac14, C = -5

Passo 5

A solução geral é
y(x) = yc + yp = C1 e^x + C2cos x + C3sin x + tfrac12,x e^x + tfrac14,e^-x -5

Resposta

boxedy(x) = C1 e^x + C2cos x + C3sin x + 12,x e^x + 14,e^-x -5

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