Determine o limite, se existir, ou mostre que não existe
\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{x^{2} y e{y}}{x{4}+4 y^{4}}
\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{x^{2} y e{y}}{x{4}+4 y^{4}}
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa determinar o limite da função
quando
se aproxima de
. Esse tipo de problema está na área de cálculo multivariável, especificamente lidando com limites de funções de duas variáveis. Para resolver, vamos analisar como a função se comporta ao nos aproximarmos do ponto
por diferentes caminhos.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar o caminho mais simples: quando
. Substituindo na função:
Então, ao nos aproximarmos de
pelo eixo
, o limite é
.
Passo 3
Agora, vamos considerar o outro eixo: quando
. Substituindo na função:
Assim, ao nos aproximarmos de
pelo eixo
, o limite também é
.
Passo 4
Vamos tentar um caminho diferente para ver se o limite muda. Vamos escolher
, onde
é uma constante qualquer. Substituindo na função:
Agora, vamos analisar o que acontece quando
:
-
se aproxima de . - No denominador, temos
, que se aproxima de .
Portanto, a expressão toda tende a
, que é infinito.
Passo 5
Observamos que:
- Ao nos aproximarmos pelo eixo
ou pelo eixo , o limite é . - Mas ao nos aproximarmos pelo caminho
, o limite tende a infinito.
Como o limite depende do caminho escolhido para se aproximar de
e dá resultados diferentes, concluímos que o limite não existe.
Resposta
O limite não existe porque a função tende a valores diferentes dependendo do caminho de aproximação.