Determine o limite, se existir, ou mostre que não existe
\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{x^{2} y e{y}}{x{4}+4 y^{4}}

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa determinar o limite da função x^2 y e^yx^4+4 y^4 quando (x, y) se aproxima de (0,0). Esse tipo de problema está na área de cálculo multivariável, especificamente lidando com limites de funções de duas variáveis. Para resolver, vamos analisar como a função se comporta ao nos aproximarmos do ponto (0,0) por diferentes caminhos.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar o caminho mais simples: quando y = 0. Substituindo na função:
x^2 cdot 0 cdot e^0x^4 + 4 cdot 0^4 = 0x^4 = 0
Então, ao nos aproximarmos de (0,0) pelo eixo x, o limite é 0.

Passo 3

Agora, vamos considerar o outro eixo: quando x = 0. Substituindo na função:
0^2 cdot y cdot e^y0^4 + 4 y^4 = 04 y^4 = 0
Assim, ao nos aproximarmos de (0,0) pelo eixo y, o limite também é 0.

Passo 4

Vamos tentar um caminho diferente para ver se o limite muda. Vamos escolher y = m x, onde m é uma constante qualquer. Substituindo na função:
x^2 cdot m x cdot e^m xx^4 + 4 (m x)^4 = m x^3 e^m xx^4 + 4 m^4 x^4 = m e^m xx (1 + 4 m^4)
Agora, vamos analisar o que acontece quando x 0:
  • e^m x se aproxima de 1.
  • No denominador, temos x (1 + 4 m^4), que se aproxima de 0.
Portanto, a expressão toda tende a m0, que é infinito.

Passo 5

Observamos que:
  • Ao nos aproximarmos pelo eixo x ou pelo eixo y, o limite é 0.
  • Mas ao nos aproximarmos pelo caminho y = m x, o limite tende a infinito.
Como o limite depende do caminho escolhido para se aproximar de (0,0) e dá resultados diferentes, concluímos que o limite não existe.

Resposta

O limite não existe porque a função tende a valores diferentes dependendo do caminho de aproximação.

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