Resolva implicitamente as seguintes derivadas:
e^x y+x^2 y=1

Passo 1

O enunciado nos dá a relação implícita
e^xy + x^2y = 1
e pede para encontrar dfracdydx. O conteúdo é diferenciação implícita, onde usamos a regra da cadeia e a regra do produto sempre que aparecem termos com y(x).

Passo 2

Derivamos ambos os lados da igualdade em relação a x, lembrando que y é função de x:
ddxl(e^xyr) + ddxl(x^2yr) = ddx(1)

Passo 3

Para dfracddx(e^xy) aplicamos a regra da cadeia. Primeiro achamos
ddx(xy) = y + xdydx,
depois
ddxl(e^xyr) = e^xy,l(y + x,y'r),
onde escrevemos y'=dfracdydx.

Passo 4

Para dfracddx(x^2y) usamos a regra do produto entre x^2 e y:
ddx(x^2y) = 2x,y + x^2,y'

Passo 5

Substituindo as derivadas em

Passo 6

e^xy(y + x,y') + 2x,y + x^2,y' = 0
Agora reunimos os termos com y' e os sem:
l(e^xyx + x^2r)y' + l(e^xyy + 2x,yr) = 0
Isolando y', resulta
y' = -e^xyy + 2x,y,e^xyx + x^2,

Resposta

dydx = -e^xyy + 2x,ye^xyx + x^2

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