Sobre a Regra da Cadeia, responda:
a) O que é uma função composta?
b) Derive: f(x)=sen[(3 x^2+5 x)^7 e^2 x]
c) Derive: f(x)=ln (raiz5 x^2+11+cos (3 x))

Passo 1

O enunciado pede para a) definir o que é uma função composta, b) derivar
f(x)=sinl[(3x^2+5x)^7 e^2xr] e c) derivar
f(x)=lnl(tfracraiz5x^2+11+cos(3x)r). O conteúdo central é a regra da cadeia (e, no item b, também produto; no c, propriedades de logaritmo).

Passo 2

Uma função composta é aquela obtida ao aplicar uma função sobre o resultado de outra. Em notação, se g e h são funções, a composta de g com h é f(x)=gl(h(x)r). Para derivar, a gente aplica a regra da cadeia: f'(x)=g'l(h(x)r)cdot h'(x).

Passo 3

Para b), note que
f(x)=sinl(u(x)r), u(x)=(3x^2+5x)^7,e^2x
Então, por cadeia,
f'(x)=cosl(u(x)r)cdot u'(x)

Passo 4

Ainda em b), para achar u'(x) aplicamos produto entre v(x)=(3x^2+5x)^7 e w(x)=e^2x. Temos
v'(x)=7(3x^2+5x)^6cdot(6x+5),
w'(x)=2e^2x
Logo
u'(x)=v'(x)w(x)+v(x)w'(x)=7(3x^2+5x)^6(6x+5)e^2x+(3x^2+5x)^7,2e^2x

Passo 5

Para c), use propriedade de logaritmo:
f(x)=lnraiz5x^2+1-lnl(1+cos(3x)r)
Seja A(x)=(5x^2+1)^1/2 e B(x)=1+cos(3x). Então
f'(x)=A'(x)A(x)-B'(x)B(x)

Passo 6

Calculando as derivadas em c):
A'(x)=tfrac12(5x^2+1)^-1/2cdot10x=5x(5x^2+1)^-1/2,
B'(x)=-3sin(3x)
Logo
f'(x)=5x5x^2+1+3sin(3x)1+cos(3x)

Resposta

a) Uma função composta é o resultado de aplicar uma função sobre a outra, i.e., f(x)=g(h(x)).
b)
f'(x)=cosl((3x^2+5x)^7e^2xr)l[7(3x^2+5x)^6(6x+5)e^2x+2(3x^2+5x)^7e^2xr]
c)
f'(x)=5x5x^2+1+3sin(3x)1+cos(3x)

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