Uma região
do plano
é delimitada pelo triângulo de vértices
e
sendo
e
valores positivos. Calcule o volume do sólido resultante da rotação de
em torno do eixo
. E se a rotação fosse ao redor do eixo
?
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre uma região
no plano
, que é um triângulo com vértices em
,
e
, onde
e
são positivos. A nossa missão é calcular o volume do sólido que resulta quando giramos essa região em torno do eixo
e depois ao redor do eixo
.
Para resolver isso, vamos precisar entender o conceito de volumes de sólidos de revolução. Basicamente, é o volume criado quando uma área plana gira em torno de um eixo. Existem métodos como o método dos discos e o método das cascas cilíndricas que nos ajudam a calcular esses volumes.
Passo 2
Vamos começar calculando o volume quando a região
gira em torno do eixo
. Para isso, vamos usar o método dos discos.
Primeiro, precisamos encontrar a equação da reta que forma o lado inclinado do triângulo. Observando os vértices
e
, podemos achar a equação da reta:
Essa é a equação da linha que liga
a
.
Passo 3
No método dos discos, consideramos pequenos discos de espessura
que se formam ao girar a região em torno do eixo
. O raio de cada disco é dado pela função
.
A área de cada disco é:
Passo 4
Para encontrar o volume total, integramos a área dos discos no intervalo de
até
:
Passo 5
Vamos calcular a integral:
Substituindo de volta na expressão do volume:
Passo 6
Então, o volume do sólido obtido pela rotação de
em torno do eixo
é:
Passo 7
Agora, vamos calcular o volume caso a rotação seja em torno do eixo
. Para isso, vamos usar o método das cascas cilíndricas.
Primeiro, precisamos expressar
em função de
a partir da equação da reta:
Passo 8
No método das cascas, consideramos pequenas “cascas” com altura
e espessura
. O raio de cada casca é
.
A área da casca é:
Passo 9
Para encontrar o volume total, integramos a área das cascas no intervalo de
até
:
Passo 10
Calculando a integral:
Substituindo de volta na expressão do volume:
Resposta
Portanto, o volume do sólido resultante da rotação da região
é:
- Em torno do eixo
:
- Em torno do eixo
: