Uma região D do plano x y é delimitada pelo triângulo de vértices (0,0),(h, 0) e (h, r) sendo h e r valores positivos. Calcule o volume do sólido resultante da rotação de D em torno do eixo O x. E se a rotação fosse ao redor do eixo O y?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre uma região D no plano xy , que é um triângulo com vértices em (0,0) , (h, 0) e (h, r) , onde h e r são positivos. A nossa missão é calcular o volume do sólido que resulta quando giramos essa região em torno do eixo Ox e depois ao redor do eixo Oy .
Para resolver isso, vamos precisar entender o conceito de volumes de sólidos de revolução. Basicamente, é o volume criado quando uma área plana gira em torno de um eixo. Existem métodos como o método dos discos e o método das cascas cilíndricas que nos ajudam a calcular esses volumes.

Passo 2

Vamos começar calculando o volume quando a região D gira em torno do eixo Ox . Para isso, vamos usar o método dos discos.
Primeiro, precisamos encontrar a equação da reta que forma o lado inclinado do triângulo. Observando os vértices (0,0) e (h, r) , podemos achar a equação da reta:
y = rhx
Essa é a equação da linha que liga (0,0) a (h, r) .

Passo 3

No método dos discos, consideramos pequenos discos de espessura dx que se formam ao girar a região em torno do eixo Ox . O raio de cada disco é dado pela função y = rhx .
A área de cada disco é:
A(x) = pi ( rhx )^2 = pi ( r^2h^2x^2 )

Passo 4

Para encontrar o volume total, integramos a área dos discos no intervalo de x = 0 até x = h :
VOx = integral0^h pi ( r^2h^2x^2 ) dx = pi r^2h^2 integral0^h x^2 dx

Passo 5

Vamos calcular a integral:
integral0^h x^2 dx = [ x^33 ]0^h = h^33 - 0 = h^33
Substituindo de volta na expressão do volume:
VOx = pi r^2h^2 cdot h^33 = pi r^2 h3

Passo 6

Então, o volume do sólido obtido pela rotação de D em torno do eixo Ox é:
VOx = pi r^2 h3

Passo 7

Agora, vamos calcular o volume caso a rotação seja em torno do eixo Oy . Para isso, vamos usar o método das cascas cilíndricas.
Primeiro, precisamos expressar x em função de y a partir da equação da reta:
x = hry

Passo 8

No método das cascas, consideramos pequenas “cascas” com altura x = hry e espessura dy . O raio de cada casca é y .
A área da casca é:
A(y) = 2pi y cdot hry = 2pi hr y^2

Passo 9

Para encontrar o volume total, integramos a área das cascas no intervalo de y = 0 até y = r :
VOy = integral0^r 2pi hr y^2 dy = 2pi hr integral0^r y^2 dy

Passo 10

Calculando a integral:
integral0^r y^2 dy = [ y^33 ]0^r = r^33 - 0 = r^33
Substituindo de volta na expressão do volume:
VOy = 2pi hr cdot r^33 = 2pi h r^23

Resposta

Portanto, o volume do sólido resultante da rotação da região D é:
  • Em torno do eixo Ox :
VOx = pi r^2 h3
  • Em torno do eixo Oy :
VOy = 2pi h r^23

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