Faça mudança de variáveis apropriadas para calcular a integral integral duplaR 4(x-y)^2 d y d x, onde R é o trapézio limitado pelas linhas x-y=2, x-y=4, x=0 e y=0.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla integral duplaR 4(x-y)^2,dy,dx sobre o trapézio limitado pelas retas x-y=2, x-y=4, x=0 e y=0. O conteúdo aqui é mudança de variáveis em integrais duplas; vamos precisar escolher uma variável que elimine o denominador (x-y)^2 e outra que torne a região mais simples.

Passo 2

Escolhemos a mudança de variáveis
u = x - y, v = x
Invertendo, temos
x = v, y = v - u

Passo 3

Precisamos do jacobiano J = detpartial(x,y)partial(u,v). Calculando as derivadas:
xu = 0, xv = 1, yu = -1, yv = 1
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J = 0 & 1 -1 & 1 = 0cdot1 - 1cdot(-1) = 1

Passo 4

Vamos descrever a região em (u,v)-plano. As fronteiras viram:
  • x-y=2 u=2
  • x-y=4 u=4
  • x=0 v=0
  • y=0 v - u = 0, ou seja v = u
    Então o domínio novo é
2 <= u <= 4, 0 <= v <= u

Passo 5

Reescrevendo a integral em (u,v):
integral duplaR 4(x-y)^2,dy,dx = integral duplaG 4u^2 l|Jr|,dv,du = integralu=2^4 integralv=0^u 4u^2 cdot 1 ,dv,du

Passo 6

Primeiro integramos em v:
integralv=0^u 4u^2 ,dv = 4u^2 cdot (u - 0) = 4u

Passo 7

Agora integramos em u:
integralu=2^4 4u ,du = 4 l[ln ur]2^4 = 4(ln4 - ln2) = 4ln2

Resposta

4\ln2

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