Faça mudança de variáveis apropriadas para calcular a integral , onde R é o trapézio limitado pelas linhas e .
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral dupla sobre o trapézio limitado pelas retas , , e . O conteúdo aqui é mudança de variáveis em integrais duplas; vamos precisar escolher uma variável que elimine o denominador e outra que torne a região mais simples.
Passo 2
Escolhemos a mudança de variáveis
Invertendo, temos
Passo 3
Precisamos do jacobiano . Calculando as derivadas:
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Passo 4
Vamos descrever a região em (u,v)-plano. As fronteiras viram:
x-y=2 dá u=2
x-y=4 dá u=4
x=0 dá v=0
y=0 dá v - u = 0, ou seja v = u
Então o domínio novo é
2 <= u <= 4, 0 <= v <= u
Passo 5
Reescrevendo a integral em (u,v):
integral duplaR 4(x-y)^2,dy,dx = integral duplaG 4u^2 l|Jr|,dv,du = integralu=2^4 integralv=0^u 4u^2 cdot 1 ,dv,du