Determine um limite inferior e um limite superior para as seguintes sequências:
(-1)^n

Passo 1

Beleza, vamos nessa! A gente tem que descobrir um limite inferior e um limite superior para a sequência (-1)^n. Isso tá dentro do conteúdo de sequências e limites, que é uma parte da matemática que estuda como os números em uma sequência se comportam conforme o índice cresce. Pra resolver isso, vamos precisar entender o que significa limite inferior e superior e como eles se aplicam nessa sequência específica.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar como a sequência se comporta. Se substituirmos alguns valores de n, por exemplo:
  • Para n = 1: (-1)^1 = -1
  • Para n = 2: (-1)^2 = 1
  • Para n = 3: (-1)^3 = -1
  • Para n = 4: (-1)^4 = 1
E assim por diante. Vemos que a sequência alterna entre -1 e 1.

Passo 3

Agora, vamos entender o que são limite inferior e limite superior.
  • Limite Superior (lim sup): É o menor número que é maior ou igual a todos os termos da sequência a partir de certo ponto. Basicamente, é como o teto que a sequência nunca ultrapassa.
  • Limite Inferior (lim inf): É o maior número que é menor ou igual a todos os termos da sequência a partir de certo ponto. Funciona como o chão que a sequência nunca desce abaixo.

Passo 4

Observando a nossa sequência (-1)^n, notamos que os termos alternam entre -1 e 1. Então, os valores que a sequência atinge são exatamente -1 e 1, e nenhum outro valor.

Passo 5

Aplicando o conceito de limite superior e inferior:
  • Limite Superior (lim sup): Como os termos máximos que a sequência atinge são 1, o limite superior é 1.
  • Limite Inferior (lim inf): Já os termos mínimos são -1, então o limite inferior é -1.

Resposta

O limite inferior da sequência (-1)^n é -1 e o limite superior é 1.

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