Determine um limite inferior e um limite superior para as seguintes sequências:
Passo 1
Beleza, vamos nessa! A gente tem que descobrir um limite inferior e um limite superior para a sequência
. Isso tá dentro do conteúdo de sequências e limites, que é uma parte da matemática que estuda como os números em uma sequência se comportam conforme o índice cresce. Pra resolver isso, vamos precisar entender o que significa limite inferior e superior e como eles se aplicam nessa sequência específica.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar como a sequência se comporta. Se substituirmos alguns valores de
, por exemplo:
- Para
: - Para
: - Para
: - Para
:
E assim por diante. Vemos que a sequência alterna entre -1 e 1.
Passo 3
Agora, vamos entender o que são limite inferior e limite superior.
-
Limite Superior (lim sup): É o menor número que é maior ou igual a todos os termos da sequência a partir de certo ponto. Basicamente, é como o teto que a sequência nunca ultrapassa.
-
Limite Inferior (lim inf): É o maior número que é menor ou igual a todos os termos da sequência a partir de certo ponto. Funciona como o chão que a sequência nunca desce abaixo.
Passo 4
Observando a nossa sequência
, notamos que os termos alternam entre -1 e 1. Então, os valores que a sequência atinge são exatamente -1 e 1, e nenhum outro valor.
Passo 5
Aplicando o conceito de limite superior e inferior:
-
Limite Superior (lim sup): Como os termos máximos que a sequência atinge são 1, o limite superior é 1.
-
Limite Inferior (lim inf): Já os termos mínimos são -1, então o limite inferior é -1.
Resposta
O limite inferior da sequência
é
e o limite superior é
.