Determine se a sequência dada é limitada ou não.
3-(-1)^n-1

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente determinar se a sequência 3 - (-1)^n-1 é limitada ou não. Para isso, vamos usar conceitos de sequências e limites. Vamos precisar entender o que significa uma sequência ser limitada e analisar o comportamento dessa sequência específica.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o termo geral da sequência: an = 3 - (-1)^n-1. O que acontece com an conforme n varia? Vamos calcular alguns termos para visualizar melhor:
  • Quando n = 1: a1 = 3 - (-1)^0 = 3 - 1 = 2
  • Quando n = 2: a2 = 3 - (-1)^1 = 3 - (-1) = 3 + 1 = 4
  • Quando n = 3: a3 = 3 - (-1)^2 = 3 - 1 = 2
  • Quando n = 4: a4 = 3 - (-1)^3 = 3 - (-1) = 4
Vemos que a sequência alterna entre 2 e 4.

Passo 3

Agora, vamos lembrar o que significa uma sequência ser limitada. Uma sequência é limitada se todos os seus termos estão dentro de certos limites superiores e inferiores. Em outras palavras, existe um número M tal que todos os termos da sequência satisfazem -M <= an <= M.

Passo 4

Analisando a nossa sequência, vimos que ela apenas assume os valores 2 e 4 repetidamente. Portanto, podemos escolher M = 4 (já que 4 é o maior valor que an assume) e m = 2 (o menor valor).
Assim, para todo n, temos:
2 <= an <= 4

Resposta

Sim, a sequência 3 - (-1)^n-1 é limitada, pois todos os seus termos estão entre 2 e 4.

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