Determine se a sequência dada é limitada ou não.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente determinar se a sequência
é limitada ou não. Para isso, vamos usar conceitos de sequências e limites. Vamos precisar entender o que significa uma sequência ser limitada e analisar o comportamento dessa sequência específica.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o termo geral da sequência:
. O que acontece com
conforme
varia? Vamos calcular alguns termos para visualizar melhor:
- Quando
: - Quando
: - Quando
: - Quando
:
Vemos que a sequência alterna entre 2 e 4.
Passo 3
Agora, vamos lembrar o que significa uma sequência ser limitada. Uma sequência é limitada se todos os seus termos estão dentro de certos limites superiores e inferiores. Em outras palavras, existe um número
tal que todos os termos da sequência satisfazem
.
Passo 4
Analisando a nossa sequência, vimos que ela apenas assume os valores 2 e 4 repetidamente. Portanto, podemos escolher
(já que 4 é o maior valor que
assume) e
(o menor valor).
Assim, para todo
, temos:
Resposta
Sim, a sequência
é limitada, pois todos os seus termos estão entre 2 e 4.