Determine um limite inferior e um limite superior para as seguintes sequências:
(-1)^n(1+1n)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrarmos um limite inferior e um limite superior para a sequência $ \left{(-1)^{n}\left(1+\frac{1}{n}\right)\right} $. Isso envolve entender como a sequência se comporta conforme $ n $ cresce. Para isso, vamos precisar conhecer um pouco sobre limites de sequências e como analisar sequências que alternam sinais.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a forma geral da sequência:
an = (-1)^n (1 + 1n)
Aqui, $ (-1)^n $ faz a sequência alternar entre positivo e negativo conforme $ n $ aumenta. O termo $ \left(1 + \frac{1}{n}\right) $ aproxima-se de 1 à medida que $ n $ cresce.

Passo 3

Vamos separar a sequência em duas subsequências para facilitar a análise:
  1. Quando $ n $ é par: $ n = 2k $
n
À medida que $ k $ cresce, $ \frac{1}{2k} $ tende a 0, então $ a_{2k} $ se aproxima de 1.
  1. Quando $ n $ é ímpar: $ n = 2k + 1 $
n = 2k
Aqui, à medida que $ k $ cresce, $ \frac{1}{2k+1} $ também tende a 0, então $ a_{2k+1} $ se aproxima de -1.

Passo 4

Agora que analisamos as duas subsequências, podemos identificar os limites:
  • A subsequência quando $ n $ é par tende a 1.
  • A subsequência quando $ n $ é ímpar tende a -1.

Passo 5

O limite superior da sequência é o maior valor que as subsequências atingem ou se aproximam, que neste caso é 1.
O limite inferior da sequência é o menor valor que as subsequências atingem ou se aproximam, que aqui é -1.

Resposta

O limite inferior da sequência é -1 e o limite superior é 1.

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