Determine um limite inferior e um limite superior para as seguintes sequências:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrarmos um limite inferior e um limite superior para a sequência $ \left{(-1)^{n}\left(1+\frac{1}{n}\right)\right} $. Isso envolve entender como a sequência se comporta conforme $ n $ cresce. Para isso, vamos precisar conhecer um pouco sobre limites de sequências e como analisar sequências que alternam sinais.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a forma geral da sequência:
Aqui, $ (-1)^n $ faz a sequência alternar entre positivo e negativo conforme $ n $ aumenta. O termo $ \left(1 + \frac{1}{n}\right) $ aproxima-se de 1 à medida que $ n $ cresce.
Passo 3
Vamos separar a sequência em duas subsequências para facilitar a análise:
- Quando $ n $ é par: $ n = 2k $
À medida que $ k $ cresce, $ \frac{1}{2k} $ tende a 0, então $ a_{2k} $ se aproxima de 1.
- Quando $ n $ é ímpar: $ n = 2k + 1 $
Aqui, à medida que $ k $ cresce, $ \frac{1}{2k+1} $ também tende a 0, então $ a_{2k+1} $ se aproxima de -1.
Passo 4
Agora que analisamos as duas subsequências, podemos identificar os limites:
- A subsequência quando $ n $ é par tende a 1.
- A subsequência quando $ n $ é ímpar tende a -1.
Passo 5
O limite superior da sequência é o maior valor que as subsequências atingem ou se aproximam, que neste caso é 1.
O limite inferior da sequência é o menor valor que as subsequências atingem ou se aproximam, que aqui é -1.
Resposta
O limite inferior da sequência é
e o limite superior é
.