Determine a reta tangente a curva dada pela equação polar :
Passo 1
O enunciado pede a reta tangente à curva polar dada por r = cos 2θ no ponto θ = π/2; o conteúdo envolve conversão de coordenadas polares para cartesianas e cálculo de derivadas para achar o declive.
Passo 2
Como primeiro passo na resolução, convertemos para funções paramétricas em θ:
Em seguida, calculamos as derivadas em relação a θ usando a regra do produto e a derivada de cos 2θ:
Passo 3
Agora avaliamos r, x, y, dx/dθ e dy/dθ em θ = π/2. Primeiro r(π/2) = cos(π) = -1, daí
Para as derivadas: em θ = π/2 temos sin(π/2)=1, cos(π/2)=0, cos2θ=cosπ=-1, sin2θ=0, logo
Passo 4
O declive da reta tangente é m = (dy/dθ)/(dx/dθ) = 0/1 = 0. Como o ponto é (0,\u2009−1), a equação da reta é y − (−1) = 0·(x − 0), ou seja y = −1.