Determine a reta tangente a curva dada pela equação polar r=cos 2 theta em :
(3) theta=pi2

Passo 1

O enunciado pede a reta tangente à curva polar dada por r = cos 2θ no ponto θ = π/2; o conteúdo envolve conversão de coordenadas polares para cartesianas e cálculo de derivadas para achar o declive.

Passo 2

Como primeiro passo na resolução, convertemos para funções paramétricas em θ:
x(theta) = rcostheta = cos2theta,costheta, y(theta) = rsintheta = cos2theta,sintheta
Em seguida, calculamos as derivadas em relação a θ usando a regra do produto e a derivada de cos 2θ:
dxdtheta = -sinthetacos2theta - 2costhetasin2theta, dydtheta = costhetacos2theta - 2sinthetasin2theta

Passo 3

Agora avaliamos r, x, y, dx/dθ e dy/dθ em θ = π/2. Primeiro r(π/2) = cos(π) = -1, daí
xl(tfracpi2r) = -1cdot0 = 0, yl(tfracpi2r) = -1cdot1 = -1
Para as derivadas: em θ = π/2 temos sin(π/2)=1, cos(π/2)=0, cos2θ=cosπ=-1, sin2θ=0, logo
dxdthetal|pi/2 = -1cdot(-1) -2cdot0cdot0 = 1, dydthetal|pi/2 = 0cdot(-1) -2cdot1cdot0 = 0

Passo 4

O declive da reta tangente é m = (dy/dθ)/(dx/dθ) = 0/1 = 0. Como o ponto é (0,\u2009−1), a equação da reta é y − (−1) = 0·(x − 0), ou seja y = −1.

Resposta

A reta tangente é y = -1.

Exercícios relacionados