Determine o limite infinito.
\lim _{x \rightarrow 5} \frac{e^{x}}{(x-5)^{1}}\

Passo 1

O enunciado pede o comportamento de
\lim_{x \to 5} \frac{e^x}{(x-5)}.
Estamos lidando com uma situação de limite onde o numerador tende a um valor não nulo e o denominador tende a zero, indicando uma possível “infinidade” ou divergência. Para decidir o sinal e o tipo de divergência, precisamos separar os dois lados da aproximação: x\to5^- e x\to5^+.

Passo 2

Analisamos o numerador e o denominador isoladamente:
  • Numerador: \displaystyle e^x\to e^5>0.
  • Denominador: \displaystyle x-5\to0, mas seu sinal depende de x estar à esquerda ou à direita de 5.

Passo 3

Limite pela direita x\to5^+:
Nesse caso x-5>0 e muito pequeno, enquanto e^x\approx e^5>0. Logo
\frac{e^x}{x-5}\to +\infty.

Passo 4

Limite pela esquerda x\to5^-:
Aqui x-5<0 e muito próximo de zero, mas e^x\approx e^5>0. Assim
\frac{e^x}{x-5}\to -\infty.

Passo 5

Como os limites laterais não coincidem ( +\infty à direita e -\infty à esquerda), o limite de duas mãos \lim_{x\to5}\frac{e^x}{x-5} não existe.

Resposta

\displaystyle \lim_{x\to5^+}\frac{e^x}{x-5}=+\infty,\quad \lim_{x\to5^-}\frac{e^x}{x-5}=-\infty.
Portanto, o limite \displaystyle \lim_{x\to5}\frac{e^x}{x-5} não existe.

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