Questões 29 e 30:
\lim _{x \rightarrow-3} \frac{x+2}{x+3}

Passo 1

O enunciado pede o limite \lim_{x\to -3}\frac{x+2}{x+3}.
Aqui temos uma função racional cujo denominador zera em x=-3, gerando um “infinito” em potencial. Para resolver, vamos estudar os limites laterais.

Passo 2

Observamos o comportamento de numerador e denominador quando x se aproxima de -3.
O numerador
x+2 \to -1,
um valor fixo negativo, e o denominador
x+3 \to 0,
cujo sinal depende se nos aproximamos pela esquerda ou pela direita.

Passo 3

Para x\to -3^+ (ou seja, x>-3), temos x+3>0 e, como x+2\approx -1<0, a fração
\frac{x+2}{x+3}
é negativa e seu valor em módulo cresce sem limite à medida que x+3\to0^+. Logo
\lim_{x\to -3^+}\frac{x+2}{x+3} = -\infty.

Passo 4

Para x\to -3^- (ou seja, x<-3), temos x+3<0 e x+2<0, então a fração fica positiva e cresce sem limite, pois o denominador tende a zero em módulo. Assim
\lim_{x\to -3^-}\frac{x+2}{x+3} = +\infty.

Passo 5

Como os dois limites laterais são diferentes, o limite bilateral não existe.

Resposta

\lim_{x\to -3^-}\frac{x+2}{x+3}=+\infty \lim_{x\to -3^+}\frac{x+2}{x+3}=-\infty
Logo, \lim_{x\to -3}\frac{x+2}{x+3} não existe.

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