Determine o limite infinito
\lim _{x \rightarrow 3^{-}} \frac{x^{2}+4 x}{x^{2}-2 x-3}

Passo 1

O enunciado pede o limite lateral \displaystyle \lim_{x\to 3^-}\frac{x^2+4x}{x^2-2x-3}.
O conteúdo envolve análise de limite em que o numerador tende a um valor finito não nulo e o denominador tende a zero, exigindo investigação de sinal.

Passo 2

Fatoramos o denominador para entender seu comportamento perto de x=3:
x^2-2x-3=(x-3)(x+1).

Passo 3

Ao aproximar x de 3 pela esquerda temos:
  1. O numerador tende a \displaystyle x^2+4x\longrightarrow 3^2+4\cdot3=21>0.
  2. O denominador tende a zero, pois x-3\to0 e x+1\to4>0. Como x<3, temos x-3<0, logo \displaystyle (x-3)(x+1)\to0^-.
Portanto a razão tende a um quociente de número positivo por valor que se aproxima de zero negativo, ou seja, -\infty.

Resposta

-\infty

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