Determine o limite infinito
\lim _{x \rightarrow \pi^{-}} x \operatorname{cotg} x

Passo 1

O enunciado pede calcular \displaystyle \lim_{x\to\pi^-} x\cot x. Este é um limite em que \cot x tem singularidade em x=\pi, e vamos usar limites de funções trigonométricas próximas de zero usando substituição e equivalentes.

Passo 2

Note que, ao aproximar x de \pi pela esquerda, definimos t = \pi - x, com t\to0^+. Então x = \pi - t e
\sin x = \sin(\pi - t) = \sin t,\qquad \cos x = \cos(\pi - t) = -\cos t.

Passo 3

Para pequenos t, sabemos que \sin t\sim t e \cos t\sim1. Logo,
\sin x = \sin t\sim t, \qquad \cos x = -\cos t\sim -1,
e portanto
\cot x = \frac{\cos x}{\sin x}\sim -\frac{1}{t}.

Passo 4

Substituindo em x\cot x:
x\cot x = (\pi - t)\,\cot x \sim (\pi - t)\Bigl(-\frac{1}{t}\Bigr) = -\frac{\pi}{t} + 1.
Como t\to0^+ faz \frac{\pi}{t}\to+\infty, temos
x\cot x\to -\infty.

Resposta

-\infty

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