1. ( 2.5 pontos)
Verifique se a equação diferencial
é exata ou não. Caso não seja, encontre um fator integrante. Encontre uma família de soluções desta equação diferencial.
Passo 1
O enunciado nos dá a equação diferencial de primeira ordem
e pede para verificar se ela é exata; caso não seja, encontrar um fator integrante e, a partir daí, obter a família de soluções. Vamos usar o conceito de equação exata: uma equação
é exata se
. Se não for, procuramos um fator integrante
ou
que torne o produto exato.
Passo 2
Identificamos
Calculamos as derivadas parciais:
Como
, a equação não é exata.
Passo 3
Procuramos um fator integrante que dependa só de
. A condição é que
seja função apenas de
. De fato,
que depende só de
. Logo, tomamos
Passo 4
Multiplicamos a equação original por
:
Agora
e
. Verificamos
portanto a equação é exata. Existe uma função potencial
tal que
Integramos
em relação a
:
Para determinar
, igualamos
a
:
Resposta
A família geral de soluções, absorvendo constantes, é
com
constante real.