1. ( 2.5 pontos)

Verifique se a equação diferencial
(x+y) \mathrm{d} x+x \log (x) \mathrm{d} y=0
é exata ou não. Caso não seja, encontre um fator integrante. Encontre uma família de soluções desta equação diferencial.

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial de primeira ordem
(x+y)\,\mathrm{d}x + x\log(x)\,\mathrm{d}y = 0
e pede para verificar se ela é exata; caso não seja, encontrar um fator integrante e, a partir daí, obter a família de soluções. Vamos usar o conceito de equação exata: uma equação
M(x,y)\,\mathrm{d}x + N(x,y)\,\mathrm{d}y = 0
é exata se \frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}. Se não for, procuramos um fator integrante \mu(x) ou \mu(y) que torne o produto exato.

Passo 2

Identificamos
M(x,y) = x + y, \qquad N(x,y) = x\log(x).
Calculamos as derivadas parciais:
\frac{\partial M}{\partial y} = 1, \qquad \frac{\partial N}{\partial x} = \log(x) + x\cdot\frac1x = \log(x) + 1.
Como 1 \neq \log(x)+1, a equação não é exata.

Passo 3

Procuramos um fator integrante que dependa só de x. A condição é que
\frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N}
seja função apenas de x. De fato,
\frac{1 - \bigl(\log(x)+1\bigr)}{x\log(x)} = \frac{-\log(x)}{x\log(x)} = -\frac1x,
que depende só de x. Logo, tomamos
\mu(x) = \exp\!\Bigl(\int -\tfrac1x\,\mathrm{d}x\Bigr) = \exp(-\ln x) = x^{-1}.

Passo 4

Multiplicamos a equação original por \mu(x)=x^{-1}:
\bigl(1 + \tfrac yx\bigr)\,\mathrm{d}x + \bigl(\log(x)\bigr)\,\mathrm{d}y = 0.
Agora M̃(x,y)=1+\tfrac yx e Ñ(x,y)=\log(x). Verificamos
\frac{\partial M̃}{\partial y} = \frac1x, \qquad \frac{\partial Ñ}{\partial x} = \frac1x,
portanto a equação é exata. Existe uma função potencial \psi(x,y) tal que
\frac{\partial\psi}{\partial x} = 1 + \frac yx, \qquad \frac{\partial\psi}{\partial y} = \log(x).
Integramos \partial\psi/\partial x em relação a x:
\psi(x,y) = \int\Bigl(1 + \frac yx\Bigr)\,\mathrm{d}x = x + y\ln(x) + h(y).
Para determinar h(y), igualamos \partial\psi/\partial y a \log(x):
\frac{\partial\psi}{\partial y} = \ln(x) + h'(y) \stackrel!= \ln(x) \;\Longrightarrow\; h'(y)=0 \;\Longrightarrow\; h(y)=\text{constante}.

Resposta

A família geral de soluções, absorvendo constantes, é
x + y\ln(x) = C,
com C constante real.

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