Determine o limite infinito
\lim _{x \rightarrow 0}\left(\ln x^{2}-x^{-2}\right)

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\lim_{x\to 0}\bigl(\ln(x^2)-x^{-2}\bigr).
Vamos analisar separadamente o comportamento de \ln(x^2) e de x^{-2} quando x\to0 e depois comparar suas ordens de divergência.

Passo 2

Para x\to0 temos
\ln(x^2)=2\ln|x|.
Como \ln|x|\to-\infty ao aproximar x de zero, segue
\ln(x^2)\to-\infty.

Passo 3

Para x\to0 também
x^{-2}=\frac1{x^2}\to+\infty.

Passo 4

Para ver qual termo domina, considere a razão
\frac{\ln(x^2)}{x^{-2}} = x^2\ln(x^2).
Quando x\to0, x^2\to0 e \ln(x^2)\to-\infty, mas o produto x^2\ln(x^2)\to0. Logo
\ln(x^2)=o\bigl(x^{-2}\bigr),
ou seja, x^{-2} cresce muito mais rápido que \ln(x^2) decresce.

Passo 5

Como x^{-2} domina, o termo \ln(x^2) torna-se desprezível na diferença, que se comporta como -x^{-2}. Portanto
\lim_{x\to0}\bigl(\ln(x^2)-x^{-2}\bigr)=-\infty.

Resposta

-\infty

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