2. (2.5 pontos)

Encontre uma solução do problema de valor inicial
2 x y \cdot y^{\prime}(x)+(1+x) y^{2}=e^{x}, \quad y(1)=\sqrt{e}
É possível afirmar que a solução encontrada é única? Justifique sua resposta.

Passo 1

O enunciado pede a solução do problema de valor inicial
2x\,y(x)\,y'(x)+(1+x)\,y(x)^2 = e^x, \quad y(1)=\sqrt{e}.
Isso é uma equação diferencial de primeira ordem, que vamos transformar em uma equação linear definindo u(x)=y(x)^2.

Passo 2

Definindo u=y^2 temos
u' = 2y\,y'.
Substituindo em 2x\,y\,y' = x\,u' a equação original vira
x\,u' + (1+x)\,u = e^x.

Passo 3

Colocando em forma padrão
u' + \frac{1+x}{x}\,u = \frac{e^x}{x},
o coeficiente de u é \tfrac{1+x}{x}. O fator integrante é
\mu(x) = \exp\!\Bigl(\int \frac{1+x}{x}\,dx\Bigr) = \exp\!\bigl(\ln|x| + x\bigr) = x\,e^x.

Passo 4

Multiplicando por \mu(x) obtemos
(\mu\,u)' = \mu\,\frac{e^x}{x} = x\,e^x\cdot\frac{e^x}{x} = e^{2x},
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\mu(x)\,u(x) = \int e^{2x}\,dx = \frac{e^{2x}}{2} + C.
Assim
u(x) = \frac{\tfrac{e^{2x}}{2} + C}{x\,e^x} = \frac{e^x}{2x} + \frac{C\,e^{-x}}{x}.

Passo 5

Usando y(1)=\sqrt{e} implica u(1)=e. Então
u(1) = \frac{e}{2} + \frac{C}{e} = e \quad\Longrightarrow\quad \frac{C}{e} = \frac{e}{2} \quad\Longrightarrow\quad C = \frac{e^2}{2}.

Passo 6

Fica
u(x) = \frac{e^x}{2x} + \frac{\tfrac{e^2}{2}\,e^{-x}}{x} = \frac{e^x + e^{2-x}}{2x},
e portanto
y(x) = \sqrt{u(x)} = \sqrt{\frac{e^x + e^{2-x}}{2x}}.

Passo 7

Para unicidade, note que a equação pode ser escrita como
y' = \frac{e^x - (1+x)y^2}{2x\,y},
e a função f(x,y)=\tfrac{e^x-(1+x)y^2}{2x\,y} junto com \partial f/\partial y são contínuas em qualquer região que não inclua x=0 nem y=0. Como (1,\sqrt e) está em x>0, y>0, pelo teorema de Picard–Lindelöf a solução existe e é única.

Resposta

A solução do problema de valor inicial é
y(x) = \sqrt{\frac{e^x + e^{2-x}}{2x}},
definida para x>0. Essa solução é única em qualquer intervalo que contenha x=1 e que não inclua x=0, devido ao teorema de existência e unicidade.

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