2. (2.5 pontos)
Encontre uma solução do problema de valor inicial
É possível afirmar que a solução encontrada é única? Justifique sua resposta.
Passo 1
O enunciado pede a solução do problema de valor inicial
Isso é uma equação diferencial de primeira ordem, que vamos transformar em uma equação linear definindo
.
Passo 2
Definindo
temos
Substituindo em
a equação original vira
Passo 3
Colocando em forma padrão
o coeficiente de
é
. O fator integrante é
Passo 4
Multiplicando por
obtemos
logo
Assim
Passo 5
Usando
implica
. Então
Passo 6
Fica
e portanto
Passo 7
Para unicidade, note que a equação pode ser escrita como
e a função
junto com
são contínuas em qualquer região que não inclua
nem
. Como
está em
,
, pelo teorema de Picard–Lindelöf a solução existe e é única.
Resposta
A solução do problema de valor inicial é
definida para
. Essa solução é única em qualquer intervalo que contenha
e que não inclua
, devido ao teorema de existência e unicidade.