Determine o limite:
lim (x, y) (-2,2) y x^2x^2+y^2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite:
lim (x, y) (-2,2) y x^2x^2+y^2
Aqui, estamos trabalhando com limites de funções de duas variáveis, que faz parte da análise multivariada. Para resolver, precisamos entender como a função se comporta quando $ (x, y) $ se aproxima de $ (-2, 2) $. Vamos analisar isso passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos substituir diretamente os valores de $ x $ e $ y $ no limite para ver se conseguimos encontrar uma resposta rápida:
x
Parece que o limite é 1, mas precisamos confirmar se esse valor é o mesmo independente do caminho pelo qual $ (x, y) $ se aproxima de $ (-2, 2) $.

Passo 3

Para garantir que o limite existe e é realmente 1, vamos verificar se o resultado é consistente ao nos aproximarmos pelo eixo $ x $ e pelo eixo $ y $.
Aproximando pelo eixo $ x $ (mantendo $ y = 2 $):
x
Aproximando pelo eixo $ y $ (mantendo $ x = -2 $):
y
Ambos os caminhos dão o mesmo resultado, 1.

Passo 4

Vamos agora considerar uma abordagem mais geral, usando coordenadas polares ou substituições lineares, para ter certeza de que o limite é 1 independentemente do caminho.
Suponha que $ y = 2 + k(x + 2) $, onde $ k $ é uma constante que representa diferentes caminhos. Substituindo na expressão:
y = 2 + k(x + 2)
Ao substituir $ x $ aproximando-se de -2, o termo $ (x + 2) $ tende a 0, então:
k
Isso confirma que o limite é 1 para qualquer valor de $ k $, ou seja, para qualquer caminho de aproximação.

Resposta

O limite é igual a 1.

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