Prove que
sen(arccos (x))=raiz1-x^2,|x| <= 1.

Passo 1

A questão pede para mostrar que sin(arccos(x)) = raiz1 - x^2 para |x| <= 1. O conteúdo envolvido é trigonometria, mais especificamente o uso da função arco cosseno e da identidade pitagórica entre seno e cosseno.

Passo 2

Definimos theta = arccos(x). Por definição de arco cosseno, isso significa que cos(theta) = x e o intervalo de theta está em [0,pi], pois arccos varia nesse intervalo.

Passo 3

Aplicamos a identidade pitagórica do círculo trigonométrico:
sin^2(theta) + cos^2(theta) = 1

Passo 4

Dessa identidade, isolamos sin(theta):
sin(theta) = pmraiz1 - cos^2(theta)

Passo 5

Precisamos escolher o sinal correto. Como theta = arccos(x) está em [0,pi], temos sin(theta) >= 0. Assim, fica
sin(theta) = +raiz1 - cos^2(theta)

Passo 6

Finalmente, substituímos cos(theta) = x na expressão de sin(theta) e lembramos que theta = arccos(x). Isso dá
sin(arccos(x)) = raiz1 - x^2

Resposta

sin(arccos(x)) = raiz1 - x^2, ; |x| <= 1

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