Determine o limite:
lim (x, y) (0,0) y^2-x yraizy-raizx

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que determinar o limite da seguinte função quando (x, y) se aproximam de (0,0):
lim (x, y) (0,0) y^2-x yraizy-raizx
Esse tipo de problema está relacionado com limites de funções de duas variáveis. Para resolver, vamos precisar usar técnicas de manipulação algébrica para simplificar a expressão e encontrar o limite.

Passo 2

Primeiro, observamos o que acontece quando substituímos x = 0 e y = 0 diretamente na função:
0^2 - 0 cdot 0raiz0 - raiz0 = 00
Esse é o famoso caso indeterminado 00, o que significa que precisamos simplificar a expressão para encontrar o limite.

Passo 3

Uma estratégia comum para resolver indeterminações desse tipo é racionalizar o denominador. Para isso, vamos multiplicar o numerador e o denominador pela conjugada do denominador. A conjugada de raizy - raizx é raizy + raizx.
Então, multiplicamos:
y^2 - x yraizy - raizx times raizy + raizxraizy + raizx = (y^2 - x y)(raizy + raizx)(raizy)^2 - (raizx)^2

Passo 4

Vamos simplificar o denominador:
(raizy)^2 - (raizx)^2 = y - x
Então, a expressão fica:
(y^2 - x y)(raizy + raizx)y - x

Passo 5

Observamos que o numerador y^2 - x y pode ser fatorado:
y^2 - x y = y(y - x)
Substituindo na fração:
y(y - x)(raizy + raizx)y - x
Agora, podemos cancelar o termo y - x no numerador e no denominador:
y(raizy + raizx)

Passo 6

Agora, simplificamos a expressão e calculamos o limite:
lim (x, y) (0,0) y(raizy + raizx)
Substituindo x = 0 e y = 0:
0(raiz0 + raiz0) = 0 times (0 + 0) = 0

Resposta

O limite é igual a 0.

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