Determine o limite:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que determinar o limite da seguinte função quando
se aproximam de
:
Esse tipo de problema está relacionado com limites de funções de duas variáveis. Para resolver, vamos precisar usar técnicas de manipulação algébrica para simplificar a expressão e encontrar o limite.
Passo 2
Primeiro, observamos o que acontece quando substituímos
e
diretamente na função:
Esse é o famoso caso indeterminado
, o que significa que precisamos simplificar a expressão para encontrar o limite.
Passo 3
Uma estratégia comum para resolver indeterminações desse tipo é racionalizar o denominador. Para isso, vamos multiplicar o numerador e o denominador pela conjugada do denominador. A conjugada de
é
.
Então, multiplicamos:
Passo 4
Vamos simplificar o denominador:
Então, a expressão fica:
Passo 5
Observamos que o numerador
pode ser fatorado:
Substituindo na fração:
Agora, podemos cancelar o termo
no numerador e no denominador:
Passo 6
Agora, simplificamos a expressão e calculamos o limite:
Substituindo
e
:
Resposta
O limite é igual a 0.