Determine o limite ou mostre que não existe:
lim (x, y) (1,-1,3)(y^3-ln (z-2), e^-x y cos (x+y), x y z^2)

Passo 1

O enunciado pede
lim(x,y,z)to(1,-1,3)l(y^3-ln(z-2),,e^-xycos(x+y),,xyz^2r),
que é o limite de uma função vetorial de três variáveis. Vamos usar o fato de que cada componente é composta por funções elementares contínuas no ponto em questão.

Passo 2

Verificamos o domínio da primeira componente ,y^3-ln(z-2). Como há ln(z-2), precisamos de
z-2>0
No ponto (1,-1,3), temos 3-2=1>0, logo não há problema de domínio. As outras componentes envolvem apenas exponencial, cosseno e produtos, todas contínuas em todo R^3. Portanto, a função vetorial é contínua em (1,-1,3) e o limite existe, valendo simplesmente o valor da função ali.

Passo 3

Calculando a primeira componente no ponto dado:
y^3-ln(z-2)gr|(y,z)=(-1,3) =(-1)^3-ln(3-2) =-1-ln(1) =-1-0 =-1

Passo 4

Calculando a segunda componente:
e^-xycos(x+y)gr|(x,y)=(1,-1) =e^-1cdot(-1)cosl(1+(-1)r) =e^1cos(0) =ecdot1 =e

Passo 5

Calculando a terceira componente:
x,y,z^2gr|(x,y,z)=(1,-1,3) =1cdot(-1)cdot3^2 =-1cdot9 =-9

Resposta

(-1,;e,;-9)

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