Determine o limite ou mostre que não existe:
lim (x, y) (2,1) F(x, y), sendo F(x, y)=(x sen(1x^2+y^2), 4-x yx^2+3 y^2)

Passo 1

O enunciado pede o limite de um campo vetorial
F(x,y)=l(x,senl(tfrac1x^2+y^2r),;tfrac4-xyx^2+3y^2r)
quando (x,y)to(2,1).
O conteúdo aqui é análise de limite em várias variáveis usando continuidade de funções compostas e de funções racionais, desde que o denominador não zere na vizinhança do ponto.

Passo 2

Analisando a primeira componente
f1(x,y)=x,sen!l(tfrac1x^2+y^2r),
vemos que quando (x,y)to(2,1) temos xto2 e
1x^2+y^2;longrightarrow;12^2+1^2=15
Como sen é contínua,
sen!l(tfrac1x^2+y^2r);longrightarrow;sen!l(tfrac15r),
portanto
f1(x,y);longrightarrow;2,sen!l(tfrac15r)

Passo 3

Para a segunda componente
f2(x,y)=4-xyx^2+3y^2,
o denominador em (2,1) vale 2^2+3cdot1^2=7neq0, então é contínuo ali. Logo, basta substituir
4-xy;longrightarrow;4-2cdot1=2, x^2+3y^2;longrightarrow;7,
e obtemos
f2(x,y);longrightarrow;27

Passo 4

Como ambas as componentes têm limite e são independentes das direções de aproximação (continuidade local garantida), o limite do campo vetorial existe e é dado pelas componentes calculadas.

Resposta

lim(x,y)to(2,1)F(x,y) =l(2,sen(tfrac15),,tfrac27r)

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