Determine o limite ou mostre que não existe:
lim (x, y) (0,0,0)(x sen(1x^2+y^2+z^2), x^2raizx^2+y^2, 10 / 3+x y^44)

Passo 1

O enunciado pede o limite da função vetorial
f(x,y,z)=gl(xsen!l(tfrac1x^2+y^2+z^2r),,x^2raizx^2+y^2,,tfrac103+x,y^44gr)
quando (x,y,z)to(0,0,0). Vamos analisar cada componente usando, respectivamente, o teorema do confronto (squeeze) e a continuidade de funções elementares.

Passo 2

Para a primeira componente A(x,y,z)=xsen!l(tfrac1x^2+y^2+z^2r), como l|sen(cdot)r|<=1 temos
l|A(x,y,z)r| =l|xsen(cdot)r| <=|x|
e, como xto0, concluímos A(x,y,z)to0.

Passo 3

Para a segunda componente B(x,y,z)=dfracx^2raizx^2+y^2, note que raizx^2+y^2>=|x|. Logo,
l|B(x,y,z)r| =x^2raizx^2+y^2 <=x^2|x| =|x|
e, como xto0, segue que B(x,y,z)to0.

Passo 4

A terceira componente é
C(x,y,z)=tfrac103+x,y^44
Como x,y^4to0 quando (x,y,z)to(0,0,0) e a operação é contínua, temos
C(x,y,z)totfrac103+04 =1012 =56

Resposta

lim(x,y,z)to(0,0,0)f(x,y,z) =(0,0,tfrac56)

Exercícios relacionados