Determine o limite ou mostre que não existe:
lim (x, y) (0,0,0) F(x, y, z), sendo F(x, y, z)=(y+e^x+z, x y^2x^2-y^2, x^2 y^2)

Passo 1

Neste exercício, queremos encontrar lim(x,y,z)to(0,0,0)F(x,y,z), onde
F(x,y,z) = l(y + e^x+z,; tfracx y^2x^2 - y^2,; x^2 y^2r)
Precisamos analisar cada componente separadamente, usando limites em várias direções para garantir que sejam bem definidos.

Passo 2

A primeira componente é f1(x,y,z) = y + e^x+z. Como (x,y,z)to(0,0,0), temos yto0 e e^x+zto e^0 = 1. Logo,
lim(x,y,z)to(0,0,0) f1(x,y,z) ,=,0 + 1 = 1

Passo 3

A terceira componente é f3(x,y,z) = x^2 y^2. Como é um produto de quadrados, claramente
lim(x,y,z)to(0,0,0) x^2 y^2 = 0

Passo 4

Agora a segunda componente: f2(x,y,z)=tfracx y^2x^2 - y^2. Para existir limite, ele deve ser o mesmo em qualquer caminho. Primeiro, ao longo de y=0 temos
f2(x,0,z) = xcdot0^2x^2 - 0 = 0
Também, em retas do tipo y = kx com kneqpm1, substituindo:
x,(kx)^2x^2 - k^2x^2 = k^2 x^3x^2(1 - k^2) = k^21-k^2,x to 0
Nesses casos o limite é zero.

Passo 5

Para ver que não é sempre zero, escolhemos um caminho curvo: y = x + x^2 e z=0. Então
numerador = x,(x + x^2)^2 = x^3(1 + x)^2,
denominador = x^2 - (x + x^2)^2 = x^2l[1 - (1 + x)^2r] = -2x^3 - x^4
Logo
f2l(x, x + x^2,0r) = x^3(1 + x)^2-2x^3 - x^4 = (1 + x)^2-2 - x to -tfrac12
A gente achou dois valores diferentes ( 0 e -1/2).

Passo 6

Como a segunda componente não tem limite único (depende do caminho), o limite da função vetorial F em (0,0,0) não existe.

Resposta

O limite não existe.

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