Determine o limite ou mostre que não existe:
, sendo
Passo 1
Neste exercício, queremos encontrar
, onde
Precisamos analisar cada componente separadamente, usando limites em várias direções para garantir que sejam bem definidos.
Passo 2
A primeira componente é
. Como
, temos
e
. Logo,
Passo 3
A terceira componente é
. Como é um produto de quadrados, claramente
Passo 4
Agora a segunda componente:
. Para existir limite, ele deve ser o mesmo em qualquer caminho. Primeiro, ao longo de
temos
Também, em retas do tipo
com
, substituindo:
Nesses casos o limite é zero.
Passo 5
Para ver que não é sempre zero, escolhemos um caminho curvo:
e
. Então
Logo
A gente achou dois valores diferentes (
e
).
Passo 6
Como a segunda componente não tem limite único (depende do caminho), o limite da função vetorial
em
não existe.
Resposta
O limite não existe.