Determine os pontos de continuidade de:
F(x, y)=(2 x+y, x y1+e^x-y)

Passo 1

O enunciado pede para achar os pontos de continuidade de F(x,y)=(2x+y, xy1+e^x-y). O conteúdo é continuidade de funções vetoriais de duas variáveis, e vamos precisar usar que soma, produto, composição e quociente (quando o denominador nunca zera) de funções contínuas é contínuo.

Passo 2

Analisando a primeira componente F1(x,y)=2x+y: trata-se de uma combinação linear de funções projetoras ( xmapsto x e ymapsto y), que são contínuas em todo o plano. Logo F1 é contínua em R^2.

Passo 3

Analisando a segunda componente F2(x,y)=dfracxy1+e^x-y: o numerador xy é produto de funções contínuas, logo contínuo. O denominador 1+e^x-y é soma de constante 1 com a exponencial de (x-y), que é contínua e sempre positiva. Como 1+e^x-y>0 para todo (x,y), o quociente também é contínuo em R^2.

Passo 4

Como ambas as componentes são contínuas em todo R^2, a função vetorial F é contínua em todos os pontos do plano.

Resposta

Todos os pontos de R^2.

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