integral ln (x^2-x+2) d x

Passo 1

Enunciado: calcular integral lnl(x^2-x+2r),dx. Conteúdo: integral de função logarítmica via integração por partes; vamos precisar montar a parte u=ln(cdot) e dv=dx, além de manipulações algébricas (divisão de polinômio e completar quadrado).

Passo 2

Escolher integração por partes: defina u=lnl(x^2-x+2r) e dv=dx. Então

Passo 3

[ du = 2x-1x^2-x+2,dx,

Passo 4

v = x.]

Passo 5

Aplicar a fórmula de partes:

Passo 6

[ integral ln(x^2-x+2),dx = xln(x^2-x+2) - integral xcdot2x-1x^2-x+2,dx.]

Passo 7

Simplificar a integral remanescente por divisão de polinômios:

Passo 8

[ x(2x-1)x^2-x+2 = 2x^2-xx^2-x+2 = 2 + x-4x^2-x+2,]

Passo 9

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Passo 10

[ integral x2x-1x^2-x+2,dx = integrall(2 + x-4x^2-x+2r)dx = 2x + integral x-4x^2-x+2,dx.]

Passo 11

Para integral x-4x^2-x+2,dx, complete o quadrado no denominador:

Passo 12

[ x^2-x+2 = l(x-tfrac12r)^2 + l(tfracraiz72r)^2,

Passo 13

e escreva x-4 = (x-tfrac12) - tfrac72.]

Passo 14

Separar em duas integrais:

Passo 15

[ integral x-4x^2-x+2,dx = integral x-tfrac12(x-tfrac12)^2+(tfracraiz72)^2,dx - 72integral dx(x-tfrac12)^2+(tfracraiz72)^2.]

Passo 16

Integrar cada parte:

Passo 17

[

Passo 18

integral dx(x-tfrac12)^2+(tfracraiz72)^2 = 2raiz7arctan!l(2x-1raiz7r).]

Passo 19

Reunir tudo:

Passo 20

[ integral ln(x^2-x+2),dx = xln(x^2-x+2) - l[2x + tfrac12ln(x^2-x+2) - tfrac72cdottfrac2raiz7arctanl(tfrac2x-1raiz7r)r] + C.]

Passo 21

Simplificar termos semelhantes e ajustar constantes:

Passo 22

[ = (x-tfrac12)ln(x^2-x+2) - 2x + raiz7arctan!l(tfrac2x-1raiz7r) + C.]

Resposta

(x-tfrac12)ln(x^2-x+2) - 2x + raiz7arctan!l(tfrac2x-1raiz7r) + C

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