Determine se a_{n}=\frac{n}{n+2} converge.

Passo 1

O enunciado dá a sequência a_{n}=\dfrac{n}{n+2} (para n natural) e pergunta se essa sequência converge.
Informações relevantes:
  • A sequência é dada explicitamente por a_{n}=\dfrac{n}{n+2}.
  • O que se pede: determinar se existe um número L tal que a_{n}\to L quando n\to\infty; se convergir, encontrar esse L.

Passo 2

Vamos buscar um candidato para o limite calculando a forma da fração quando n fica grande. Divido numerador e denominador por n (isso é válido para n\ge1):
a_{n}=\frac{n}{n+2}=\frac{1}{1+\tfrac{2}{n}}.
Explicação didática: dividir por n é só uma forma de separar a parte que depende de n ( \tfrac{2}{n}) da parte que não depende. Quando n cresce, \tfrac{2}{n} tende a zero.

Passo 3

Pelo passo anterior, ao fazer n\to\infty temos \tfrac{2}{n}\to0. Substituindo no formato obtido,
\frac{1}{1+\tfrac{2}{n}}\longrightarrow\frac{1}{1+0}=1.
Intuição: para n muito grande, o “+2” no denominador é irrelevante, logo a_n fica muito próximo de 1.

Passo 4

Agora uma prova rigorosa pelo critério \varepsilon- N (definição de convergência de sequência). Queremos mostrar que existe L=1 tal que, para todo \varepsilon>0, existe N com |a_n-1|<\varepsilon sempre que n\ge N.
Calcule a diferença:
\left|a_{n}-1\right|=\left|\frac{n}{n+2}-1\right|=\left|\frac{n-(n+2)}{n+2}\right|=\left|\frac{-2}{n+2}\right|=\frac{2}{n+2}.
Queremos \dfrac{2}{n+2}<\varepsilon. Isso é equivalente a
n+2>\frac{2}{\varepsilon}\quad\Longleftrightarrow\quad n>\frac{2}{\varepsilon}-2.
Então, dado \varepsilon>0, basta escolher um N\in\mathbb{N} tal que
N>\frac{2}{\varepsilon}-2.
Por exemplo, podemos tomar
N=\left\lceil\frac{2}{\varepsilon}-2\right\rceil,
onde \lceil x\rceil é o menor inteiro \ge x. Com essa escolha, para todo n\ge N tem-se \dfrac{2}{n+2}\le\dfrac{2}{N+2}<\varepsilon, o que garante |a_n-1|<\varepsilon. Isso prova que a_n\to1.
Comentário prático: se \varepsilon for grande (por exemplo \varepsilon\ge1), qualquer N\ge1 já funciona, porque |a_n-1|\le1 sempre. A construção acima cobre todos os casos.

Passo 5

Uma verificação alternativa (mais intuitiva) que reforça a conclusão: mostrar que (a_n) é monotonicamente crescente e limitada acima por 1, então converge.
Calcule a diferença entre termos consecutivos:
a_{n+1}-a_n=\frac{n+1}{n+3}-\frac{n}{n+2}=\frac{(n+1)(n+2)-n(n+3)}{(n+3)(n+2)}=\frac{2}{(n+3)(n+2)}>0.
Logo a sequência é estritamente crescente. Além disso, para todo n,
a_n=\frac{n}{n+2}<\frac{n+2}{n+2}=1,
portanto (a_n) é limitada superiormente por 1. Uma sequência crescente e limitada superiormente converge; o único candidato possível para o limite é o supremo da imagem, que é 1. Isso coincide com o resultado do passo anterior.

Passo 6

Conclusão: a sequência converge e seu limite é 1. Forneci tanto o cálculo direto quanto a prova \varepsilon- N e uma demonstração alternativa por monotonia e limite superior.

Resposta

Converge para 1.

Exercícios relacionados