O enunciado dá a sequência a_{n}=\dfrac{n}{n+2} (para n natural) e pergunta se essa sequência converge.
Informações relevantes:
A sequência é dada explicitamente por a_{n}=\dfrac{n}{n+2}.
O que se pede: determinar se existe um número L tal que a_{n}\to L quando n\to\infty; se convergir, encontrar esse L.
Passo 2
Vamos buscar um candidato para o limite calculando a forma da fração quando n fica grande. Divido numerador e denominador por n (isso é válido para n\ge1):
a_{n}=\frac{n}{n+2}=\frac{1}{1+\tfrac{2}{n}}.
Explicação didática: dividir por n é só uma forma de separar a parte que depende de n (\tfrac{2}{n}) da parte que não depende. Quando n cresce, \tfrac{2}{n} tende a zero.
Passo 3
Pelo passo anterior, ao fazer n\to\infty temos \tfrac{2}{n}\to0. Substituindo no formato obtido,
Intuição: para n muito grande, o “+2” no denominador é irrelevante, logo a_n fica muito próximo de 1.
Passo 4
Agora uma prova rigorosa pelo critério \varepsilon-N (definição de convergência de sequência). Queremos mostrar que existe L=1 tal que, para todo \varepsilon>0, existe N com |a_n-1|<\varepsilon sempre que n\ge N.
Então, dado \varepsilon>0, basta escolher um N\in\mathbb{N} tal que
N>\frac{2}{\varepsilon}-2.
Por exemplo, podemos tomar
N=\left\lceil\frac{2}{\varepsilon}-2\right\rceil,
onde \lceil x\rceil é o menor inteiro \ge x. Com essa escolha, para todo n\ge N tem-se \dfrac{2}{n+2}\le\dfrac{2}{N+2}<\varepsilon, o que garante |a_n-1|<\varepsilon. Isso prova que a_n\to1.
Comentário prático: se \varepsilon for grande (por exemplo \varepsilon\ge1), qualquer N\ge1 já funciona, porque |a_n-1|\le1 sempre. A construção acima cobre todos os casos.
Passo 5
Uma verificação alternativa (mais intuitiva) que reforça a conclusão: mostrar que (a_n) é monotonicamente crescente e limitada acima por 1, então converge.
Logo a sequência é estritamente crescente. Além disso, para todo n,
a_n=\frac{n}{n+2}<\frac{n+2}{n+2}=1,
portanto (a_n) é limitada superiormente por 1. Uma sequência crescente e limitada superiormente converge; o único candidato possível para o limite é o supremo da imagem, que é 1. Isso coincide com o resultado do passo anterior.
Passo 6
Conclusão: a sequência converge e seu limite é 1. Forneci tanto o cálculo direto quanto a prova \varepsilon-N e uma demonstração alternativa por monotonia e limite superior.