Determine o limite de a_{n+1}=\frac{a_{n}+5}{3}

Passo 1

O enunciado dá uma sequência \{a_n\} definida pela relação de recorrência
a_{n+1}=\frac{a_{n}+5}{3},
e pede para determinar o limite \displaystyle\lim_{n\to\infty} a_n (quando existir).
Informação importante: não foi fornecido o termo inicial a_0 (ou a_1); portanto a solução deve indicar se o limite depende de a_0 ou não.

Passo 2

Ideia geral (explicada devagar): quando uma sequência é dada por uma relação linear do tipo
a_{n+1}=\alpha a_n + \beta,
um procedimento muito útil é:
  • procurar um ponto fixo L tal que L=\alpha L+\beta. Esse é um candidato a ser o limite; se a sequência converge, o limite tem que ser esse L.
  • estudar a diferença b_n=a_n-L. Substituindo na recorrência, obtém-se uma nova recorrência homogênea para b_n (sem termo constante), geralmente do tipo b_{n+1}=\alpha b_n. Essa é uma progressão geométrica, cuja convergência é fácil de analisar: se |\alpha|<1 então b_n\to0 e logo a_n\to L.
Vou aplicar esse método passo a passo ao nosso caso, com \alpha=\tfrac{1}{3} e \beta=\tfrac{5}{3} (note que \tfrac{a_n+5}{3}=\tfrac{1}{3}a_n+\tfrac{5}{3}).

Passo 3

Encontrar o ponto fixo L. Resolver a equação
L=\frac{L+5}{3}.
Multiplicando ambos os lados por 3:
3L=L+5.
Isolando L:
3L-L=5\quad\Rightarrow\quad 2L=5\quad\Rightarrow\quad L=\frac{5}{2}.

Passo 4

Estudar a diferença em relação a L. Defina
b_n=a_n-L.
Substituindo a_n=b_n+L na recorrência original:
a_{n+1}=\frac{a_n+5}{3} \quad\Rightarrow\quad b_{n+1}+L=\frac{b_n+L+5}{3}.
Mas pela definição de L temos L=\dfrac{L+5}{3}, então ao comparar as duas expressões os termos constantes cancelam e resta
b_{n+1}=\frac{1}{3}b_n.

Passo 5

Resolver a recorrência para b_n. A relação
b_{n+1}=\frac{1}{3}b_n
é uma progressão geométrica com razão \dfrac{1}{3}. Portanto, para todo n\ge0,
b_n=b_0\left(\frac{1}{3}\right)^n,
onde b_0=a_0-L (ou, se o índice começar em 1, b_1=a_1-L). Como \left|\dfrac{1}{3}\right|<1, tem-se
\lim_{n\to\infty} b_n = 0.
Então a_n = L + b_n \to L + 0 = L.
Também podemos escrever a forma explícita de a_n:
a_n = L + (a_0-L)\left(\frac{1}{3}\right)^n = \frac{5}{2} + \bigl(a_0-\tfrac{5}{2}\bigr)\left(\frac{1}{3}\right)^n.
Isso mostra claramente que a sequência converge para \tfrac{5}{2} independentemente do valor de a_0.

Passo 6

Um exemplo numérico rápido (para ganhar intuição): se a_0=0,
a_1=\frac{0+5}{3}=\frac{5}{3}\approx1,66\ldots,\quad a_2=\frac{\tfrac{5}{3}+5}{3}=\frac{20}{9}\approx2,22\ldots,
e os termos vão se aproximando de \tfrac{5}{2}=2,5. Isso confirma a análise abstrata acima.

Resposta

\displaystyle \frac{5}{2}

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