O enunciado dá uma sequência \{a_n\} definida pela relação de recorrência
a_{n+1}=\frac{a_{n}+5}{3},
e pede para determinar o limite \displaystyle\lim_{n\to\infty} a_n (quando existir).
Informação importante: não foi fornecido o termo inicial a_0 (ou a_1); portanto a solução deve indicar se o limite depende de a_0 ou não.
Passo 2
Ideia geral (explicada devagar): quando uma sequência é dada por uma relação linear do tipo
a_{n+1}=\alpha a_n + \beta,
um procedimento muito útil é:
procurar um ponto fixo L tal que L=\alpha L+\beta. Esse é um candidato a ser o limite; se a sequência converge, o limite tem que ser esse L.
estudar a diferença b_n=a_n-L. Substituindo na recorrência, obtém-se uma nova recorrência homogênea para b_n (sem termo constante), geralmente do tipo b_{n+1}=\alpha b_n. Essa é uma progressão geométrica, cuja convergência é fácil de analisar: se |\alpha|<1 então b_n\to0 e logo a_n\to L.
Vou aplicar esse método passo a passo ao nosso caso, com \alpha=\tfrac{1}{3} e \beta=\tfrac{5}{3} (note que \tfrac{a_n+5}{3}=\tfrac{1}{3}a_n+\tfrac{5}{3}).