Determine o limite das seguintes sequências:
b_{n}=\frac{3 n^{2}+5}{2 n^{2}-n}

Passo 1

O enunciado pede o limite da sequência
b_{n}=\frac{3n^{2}+5}{2n^{2}-n}
quando n\to\infty. O conteúdo é cálculo de limite de sequência racional de polinômios, e vamos usar a técnica de fatorar o termo de maior grau em numerador e denominador.

Passo 2

Observamos que tanto o numerador quanto o denominador são polinômios de grau 2 em n. Quando os graus são iguais, o limite da razão é o quociente dos coeficientes líderes.

Passo 3

Para ver isso explicitamente, fatoramos n^{2} em cima e embaixo:
\frac{3n^{2}+5}{2n^{2}-n} =\frac{n^{2}\bigl(3+\tfrac{5}{n^{2}}\bigr)}{n^{2}\bigl(2-\tfrac{1}{n}\bigr)} =\frac{3+\tfrac{5}{n^{2}}}{2-\tfrac{1}{n}}.

Passo 4

Agora, fazemos n\to\infty. Temos \tfrac{5}{n^{2}}\to0 e \tfrac{1}{n}\to0, logo
\lim_{n\to\infty}b_{n} =\frac{3+0}{2-0} =\frac{3}{2}.

Resposta

\displaystyle \frac{3}{2}

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