Determine o limite das seguintes sequências:
c_{n}=\frac{\sqrt{n^{2}+1}-n}{n}

Passo 1

O enunciado pede o limite da sequência
c_{n} = \frac{\sqrt{n^{2}+1}-n}{n}
quando n\to\infty. Aqui o conteúdo é análise de limites de sequências e vamos usar manipulações algébricas para simplificar a expressão antes de calcular o limite.

Passo 2

Observe que podemos fatorar n dentro da raiz:
\sqrt{n^{2}+1} = n\,\sqrt{1 + \frac{1}{n^{2}}}.
Substituindo em c_{n}, vem
c_{n} = \frac{n\,\sqrt{1 + \frac{1}{n^{2}}} \;-\; n}{n} = \sqrt{1 + \frac{1}{n^{2}}}\;-\;1.

Passo 3

Agora basta analisar
\sqrt{1 + \frac{1}{n^{2}}}\;-\;1
quando n\to\infty. Como \frac{1}{n^{2}}\to0, temos \sqrt{1 + \tfrac{1}{n^{2}}}\to\sqrt{1}=1. Logo
\sqrt{1 + \frac{1}{n^{2}}}\;-\;1 \;\longrightarrow\; 1 - 1 = 0.

Resposta

O limite da sequência é 0.

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