A sequência a_{n}=\frac{n^{2}+2 n+1}{2 n^{2}+3} converge? Se sim, qual é o seu limite?

Passo 1

O enunciado nos dá a sequência
a_{n} = \frac{n^{2} + 2n + 1}{2n^{2} + 3}
e pede para determinar se ela converge e, em caso afirmativo, achar o limite. O conteúdo é análise de limites de sequências racionais (quociente de polinômios), para o qual precisamos usar o comportamento dos termos de maior grau em n.

Passo 2

Quando temos uma sequência da forma
\frac{P(n)}{Q(n)},
onde P e Q são polinômios de mesmo grau d, então
\lim_{n\to\infty} \frac{P(n)}{Q(n)} = \frac{\text{coeficiente líder de }P}{\text{coeficiente líder de }Q}.íí
Aqui ambos os polinômios têm grau 2; o coeficiente líder de n^{2}+2n+1 é 1, e o de 2n^{2}+3 é 2. Logo o limite deve ser \tfrac12.

Passo 3

Para ver isso de forma mais detalhada, dividimos numerador e denominador por n^{2}:
a_{n} = \frac{n^{2}\bigl(1 + \tfrac{2}{n} + \tfrac{1}{n^{2}}\bigr)}{n^{2}\bigl(2 + \tfrac{3}{n^{2}}\bigr)} = \frac{1 + \frac{2}{n} + \frac{1}{n^{2}}}{2 + \frac{3}{n^{2}}}.
À medida que n \to \infty, temos \tfrac{2}{n}\to0 e \tfrac{1}{n^{2}}\to0, bem como \tfrac{3}{n^{2}}\to0. Portanto,
\lim_{n\to\infty} a_{n} = \frac{1 + 0 + 0}{2 + 0} = \frac{1}{2}.

Resposta

A sequência converge e
\lim_{n\to\infty} a_{n} = \frac{1}{2}.

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