Determine se a série \sum_{n=1}^{\infty} \frac{3 n+1}{2 n+5} diverge ou converge.

Passo 1

O enunciado pede para analisar a convergência da série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{3n+1}{2n+5}.
Este é um problema de séries numéricas e vamos usar o teste da convergência do termo geral (ou teste do termo nulo): se o termo geral não tende a zero, a série diverge.

Passo 2

Para aplicar o teste do termo geral, primeiro encontramos
a_n = \frac{3n+1}{2n+5}.
Dividindo numerador e denominador por n, obtemos
a_n = \frac{3 + \tfrac{1}{n}}{2 + \tfrac{5}{n}}.

Passo 3

Agora calculamos o limite de a_n quando n\to\infty:
\lim_{n\to\infty}a_n = \lim_{n\to\infty}\frac{3 + \tfrac{1}{n}}{2 + \tfrac{5}{n}} = \frac{3+0}{2+0} = \frac{3}{2}.

Passo 4

Como
\lim_{n\to\infty}a_n = \tfrac{3}{2} \neq 0,
a condição necessária de convergência (termo geral nulo) não é satisfeita. Logo, a série não pode convergir.

Resposta

A série diverge.

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