Determine os limites:
lim t 0(t sen(1t), 2 cos (t), 2+e^tg(t)).

Passo 1

O enunciado pede o limite, quando tto0, do vetor
l(tsinl(tfrac1tr),,2cos(t),,2+e^tan(t)r)
Aqui o conteúdo é limite de função vetorial, que se reduz a calcular o limite de cada componente. Para isso usaremos o Teorema do Confronto (para a primeira componente) e a continuidade de funções elementares (para as outras duas).

Passo 2

Para a primeira componente, considere
x(t)=tsinl(tfrac1tr)
Como sinl(tfrac1tr) fica entre -1 e 1, temos
-,|t|<= tsinl(tfrac1tr)<= |t|
Quando tto0, |t|to0. Pelo Teorema do Confronto segue
limtto0tsinl(tfrac1tr)=0

Passo 3

Para a segunda componente, use continuidade de cos. Como cos é contínua em 0 e cos(0)=1,
limtto02cos(t)=2cdotcos(0)=2cdot1=2

Passo 4

Para a terceira componente, observe que tan é contínua em 0 com tan(0)=0, e que a função expoencial é contínua também em 0 com e^0=1. Então
limtto0e^tan(t)=e^tan(0)=e^0=1,
e portanto
limtto0l(2+e^tan(t)r)=2+1=3

Resposta

l(0,,2,,3r)

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