(página 126): Calcule lim t t0 F(t) para as funções abaixo. Determine os pontos de continuidade.
F(t)=(raiz1-1t-1, t^2, t-1t), t0=1

Passo 1

O enunciado pede limtto1F(t) para
F(t)=l(raizt-1t-1,;t^2,;t-1tr)
e, em seguida, identificar onde F é contínua. Vamos usar limite componente a componente e depois ver o domínio de cada parte para achar os pontos de continuidade de F.

Passo 2

Calcular
limtto1raizt-1t-1
Como dá 0/0, multiplicamos numerador e denominador pelo conjugado raizt+1:
raizt-1t-1 =(raizt-1)(raizt+1)(t-1)(raizt+1) =t-1(t-1)(raizt+1) =1raizt+1
Fazendo tto1 chega-se a
limtto1raizt-1t-1 =1raiz1+1 =12

Passo 3

Calcular
limtto1t^2
Como t^2 é contínua em todo lugar,
limtto1t^2 =1^2 =1

Passo 4

Calcular
limtto1t-1t
Também é caso “ 0/1”:
limtto1t-1t =1-11 =0

Passo 5

Juntando as três componentes, obtemos
limtto1F(t) =l(tfrac12,;1,;0r)

Passo 6

Determinar o domínio de F e onde ela é contínua:
– Componente raizt-1t-1 exige t>=0 e tneq1 (removível em t=1).
– Componente t^2 é contínua em todo R.
– Componente t-1t exige tneq0.
Logo o domínio de F é
(0,infty)setminus1
Em todos esses pontos cada componente é contínua, portanto F é contínua em
(0,1)cup(1,infty)

Resposta

limtto1F(t)=l(tfrac12,1,0r).
F é contínua para todo t>0 com tneq1, isto é, em (0,1)cup(1,infty).

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