Encontre os comprimentos das curvas:
Passo 1
A questão pede o comprimento da curva paramétrica definida por quatro variáveis x=cos(t) e y=t+sen(t) para 0≤t≤π. O conteúdo aqui é comprimento de curvas paramétricas, e vamos precisar usar a fórmula que diz que o comprimento é ∫√((dx/dt)²+(dy/dt)²) dt.
Passo 2
Primeiro vamos calcular as derivadas em relação a t das coordenadas. Temos dx/dt=−sen(t) e dy/dt=1+cos(t). É importante lembrar que para comprimento de curva paramétrica precisamos dessas derivadas.
Passo 3
Agora montamos o integrando da fórmula de comprimento:
Vamos simplificar essa expressão usando a identidade trigonométrica sin²(t)+cos²(t)=1:
Também usamos que 1+cos(t)=2\cos^2(t/2), então o integrando fica:
Passo 4
No intervalo 0≤t≤π, temos t/2∈[0,π/2], logo cos(t/2)≥0 e o valor absoluto some. Assim o comprimento é
Passo 5
Para calcular essa integral, faça a substituição u=t/2, dt=2du, com u de 0 a π/2:
Resposta
4