Encontre os comprimentos das curvas:
x=cos (t), y=t+sen(t), 0 <= t <= pi

Passo 1

A questão pede o comprimento da curva paramétrica definida por quatro variáveis x=cos(t) e y=t+sen(t) para 0≤t≤π. O conteúdo aqui é comprimento de curvas paramétricas, e vamos precisar usar a fórmula que diz que o comprimento é ∫√((dx/dt)²+(dy/dt)²) dt.

Passo 2

Primeiro vamos calcular as derivadas em relação a t das coordenadas. Temos dx/dt=−sen(t) e dy/dt=1+cos(t). É importante lembrar que para comprimento de curva paramétrica precisamos dessas derivadas.

Passo 3

Agora montamos o integrando da fórmula de comprimento:
raizl(tfracdxdtr)^2+l(tfracdydtr)^2 = raizsin^2(t)+(1+cos(t))^2
Vamos simplificar essa expressão usando a identidade trigonométrica sin²(t)+cos²(t)=1:
sin^2(t)+(1+cos(t))^2 = sin^2(t)+1+2cos(t)+cos^2(t)=2+2cos(t)=2l(1+cos(t)r)
Também usamos que 1+cos(t)=2\cos^2(t/2), então o integrando fica:
raiz2cdot2cos^2l(tfrac t2r)=2l|costfrac t2r|

Passo 4

No intervalo 0≤t≤π, temos t/2∈[0,π/2], logo cos(t/2)≥0 e o valor absoluto some. Assim o comprimento é
L=integral0^pi2cosl(tfrac t2r),dt

Passo 5

Para calcular essa integral, faça a substituição u=t/2, dt=2du, com u de 0 a π/2:
L=2integral0^picosl(tfrac t2r),dt=2cdot2integral0^pi/2cos(u),du=4[sin(u)]0^pi/2=4

Resposta

4

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