Mostre que a mudança de variável dependente
transforma a equação homogênea em uma equação de variáveis separáveis.
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Utilizando o Exercício 9, resolva as EDO(a)
;
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Utilizando o Exercício 9, resolva as EDO(a)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação diferencial ordinária (EDO) dada por
. Nosso objetivo é mostrar que, fazendo a mudança de variável
, essa equação homogênea se transforma em uma equação de variáveis separáveis. Para isso, vamos precisar entender sobre equações homogêneas e como substituir variáveis para simplificar a resolução.
Passo 2
Primeiro, vamos realizar a substituição
. Com isso, podemos expressar
em termos de
e
:
Passo 3
Agora, precisamos encontrar
em termos de
e
. Diferenciando ambos os lados da equação
:
Passo 4
Vamos substituir
e
na equação original
:
Simplificando:
Passo 5
Vamos simplificar a expressão:
Os termos
se cancelam:
Passo 6
Agora, vamos dividir toda a equação por
:
Simplificando:
Passo 7
Rearranjando os termos para isolar
:
Agora, a equação está em uma forma que permite separar as variáveis
e
:
Passo 8
Vamos integrar ambos os lados da equação:
Calculando as integrais:
Passo 9
Substituindo
de volta na equação:
Multiplicando ambos os lados por
:
Podemos renomear
como uma constante
:
Resposta
A solução geral da EDO
é dada por:
onde
é a constante de integração.