Mostre que a mudança de variável dependente u=y / x transforma a equação homogênea em uma equação de variáveis separáveis.
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Utilizando o Exercício 9, resolva as EDO(a) (y^2+x y) d x-x^2 d y=0;

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação diferencial ordinária (EDO) dada por (y^2 + x y) dx - x^2 dy = 0. Nosso objetivo é mostrar que, fazendo a mudança de variável u = yx, essa equação homogênea se transforma em uma equação de variáveis separáveis. Para isso, vamos precisar entender sobre equações homogêneas e como substituir variáveis para simplificar a resolução.

Passo 2

Primeiro, vamos realizar a substituição u = yx. Com isso, podemos expressar y em termos de u e x:
y = u x

Passo 3

Agora, precisamos encontrar dy em termos de du e dx. Diferenciando ambos os lados da equação y = u x:
dy = u , dx + x , du

Passo 4

Vamos substituir e na equação original :
Simplificando:

Passo 5

Vamos simplificar a expressão:
(u^2 x^2 + u x^2 - u x^2) dx - x^3 , du = 0
Os termos u x^2 se cancelam:
u^2 x^2 dx - x^3 , du = 0

Passo 6

Agora, vamos dividir toda a equação por x^3:
u^2 x^2x^3 dx - x^3x^3 du = 0
Simplificando:
u^2x dx - du = 0

Passo 7

Rearranjando os termos para isolar du:
u^2x dx = du
Agora, a equação está em uma forma que permite separar as variáveis u e x:
duu^2 = dxx

Passo 8

Vamos integrar ambos os lados da equação:
integral 1u^2 du = integral 1x dx
Calculando as integrais:
- 1u = ln |x| + C

Passo 9

Substituindo u = yx de volta na equação:
- xy = ln |x| + C
Multiplicando ambos os lados por -1:
xy = -ln |x| - C
Podemos renomear -C como uma constante K:
xy = ln |x| + K

Resposta

A solução geral da EDO (y^2 + x y) dx - x^2 dy = 0 é dada por:
xy = ln |x| + C
onde C é a constante de integração.

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