Determine os limites:
lim x 3 x^2-3 x-10x^2-10 x+25

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite: lim x 3 x^2-3 x-10x^2-10 x+25. Aqui, estamos lidando com limites em Cálculo, especificamente de funções racionais. Para resolver, vamos precisar fatorar o numerador e o denominador para simplificar a expressão.

Passo 2

Primeiro, vamos fatorar o numerador: x^2 - 3x - 10. A gente busca dois números que multiplicados dão -10 e somados dão -3. Esses números são -5 e +2. Então, o numerador pode ser escrito como (x - 5)(x + 2).

Passo 3

Agora, vamos fatorar o denominador: x^2 - 10x + 25. Aqui, notamos que é um trinomio quadrado perfeito porque (-5) times (-5) = 25 e 2 times (-5) = -10. Assim, o denominador pode ser fatorado como (x - 5)^2.

Passo 4

Com as fatorações feitas, a expressão do limite fica: lim x 3 (x - 5)(x + 2)(x - 5)^2. Podemos simplificar cancelando um (x - 5) do numerador com um do denominador, desde que x neq 5. Isso simplifica para: lim x 3 x + 2x - 5.

Passo 5

Agora, substituímos x por 3 na expressão simplificada: 3 + 23 - 5 = 5-2 = -52.

Resposta

O limite é -52.

Exercícios relacionados