Encontre a equação da reta que passa pelo ponto (5.8,2.2) e que, conjuntamente com os eixos x e y, determina, no primeiro quadrante, o triângulo de menor área possível:

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar a equação de uma reta que passa pelo ponto (5.8, 2.2) e que, junto com os eixos x e y, forma um triângulo no primeiro quadrante com a menor área possível.
Conteúdo da matéria: Vamos trabalhar com a equação da reta, interseções com os eixos, e otimização de funções para minimizar a área do triângulo.
O que vamos precisar:
  • Fórmula da equação da reta.
  • Como encontrar os pontos de interseção da reta com os eixos.
  • Fórmula da área do triângulo.
  • Cálculo de derivadas para encontrar o mínimo da função área.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como é a equação geral da reta que passa por um ponto (x1, y1) e tem inclinação m. A equação pode ser escrita como:
y - y1 = m(x - x1)
No nosso caso, a reta passa pelo ponto (5.8, 2.2), então substituímos x1 = 5.8 e y1 = 2.2:
y - 2.2 = m(x - 5.8)

Passo 3

Agora, vamos encontrar os pontos onde essa reta intercepta os eixos x e y.
Interseção com o eixo y ( x = 0):
Substituímos x = 0 na equação da reta:
y - 2.2 = m(0 - 5.8) y - 2.2 = -5.8m y = -5.8m + 2.2
Então, o ponto de interseção com o eixo y é (0, -5.8m + 2.2).
Interseção com o eixo x ( y = 0):
Substituímos y = 0 na equação da reta:
0 - 2.2 = m(x - 5.8) -2.2 = m(x - 5.8) x - 5.8 = -2.2m x = -2.2m + 5.8
Então, o ponto de interseção com o eixo x é (-2.2m + 5.8, 0).

Passo 4

Agora, vamos calcular a área do triângulo formado por esses dois pontos de interseção e a origem (0,0). A área A de um triângulo com base b e altura h é dada por:
A = b cdot h2
Aqui, a base do triângulo é a interseção com o eixo x, que é -2.2m + 5.8, e a altura é a interseção com o eixo y, que é -5.8m + 2.2.
Então, a área é:
A(m) = ( -2.2m + 5.8 ) cdot ( -5.8m + 2.2 )2

Passo 5

Vamos simplificar a expressão da área:
A(m) = ( -2.2m + 5.8 ) cdot ( -5.8m + 2.2 )2
Multiplicando os termos:
A(m) = (-2.2)(-5.8m) + (-2.2)(2.2) + 5.8(-5.8m) + 5.8(2.2)2
Calculando cada termo:
  • (-2.2)(-5.8m) = 12.76m
  • (-2.2)(2.2) = -4.84
  • 5.8(-5.8m) = -33.64m
  • 5.8(2.2) = 12.76
Então:
A(m) = 12.76m - 4.84 - 33.64m + 12.762 A(m) = -20.88m + 7.922 A(m) = -10.44m + 3.96

Passo 6

Queremos minimizar a área A(m) = -10.44m + 3.96. Mas observando essa expressão, vemos que é uma função linear, que não possui um ponto de mínimo quando m varia sobre todos os números reais. Isso indica que precisamos rever nossa abordagem.
Vamos reconsiderar a expressão da área. Talvez tenhamos simplificado de forma incorreta.
Vamos reescrever a área sem simplificar completamente:
A(m) = ( -2.2m + 5.8 ) cdot ( -5.8m + 2.2 )2
Multiplicando os termos:
A(m) = ( -2.2 cdot -5.8m ) + (-2.2 cdot 2.2) + (5.8 cdot -5.8m) + (5.8 cdot 2.2)2 A(m) = 12.76m - 4.84 - 33.64m + 12.762 A(m) = -20.88m + 7.922 A(m) = -10.44m + 3.96
De fato, parece que a área está representada por uma função linear. No entanto, no contexto do problema, considerando que a reta está no primeiro quadrante, o coeficiente m deve ser negativo para que a interseção com o eixo y seja positiva. Então, vamos considerar m < 0.
Como m é negativo, podemos reescrever a função usando m = -k, onde k > 0:
A(k) = -10.44(-k) + 3.96 A(k) = 10.44k + 3.96
Agora, A(k) é uma função linear crescente em k. Para minimizar a área, precisamos minimizar k, ou seja, maximizar m dentro das restrições do problema.

Passo 7

Como estamos buscando a reta que passa pelo ponto (5.8, 2.2) no primeiro quadrante com a menor área, vamos perceber que a menor área ocorre quando a reta é tangente ao triângulo formado.
Isso significa que a menor área acontece quando a reta passa pelo ponto (5.8, 2.2) e suas interseções com os eixos estão “mais próximas” possível desse ponto, formando o menor triângulo possível.
Uma abordagem mais eficaz seria usar o conceito de similaridade de triângulos ou derivadas para encontrar o mínimo.
Vamos então parametrizar a reta de forma diferente, usando interceptos.

Passo 8

Vamos assumir que a reta intercepta o eixo x em (a, 0) e o eixo y em (0, b). Então, a equação da reta pode ser escrita como:
xa + yb = 1
Como a reta passa pelo ponto (5.8, 2.2), substituímos na equação:
5.8a + 2.2b = 1
Queremos minimizar a área do triângulo formado pelos interceptos, que é:
A = a cdot b2

Passo 9

Vamos expressar uma das variáveis em termos da outra usando a equação da reta. Vamos isolar b:
5.8a + 2.2b = 1 2.2b = 1 - 5.8a 2.2b = a - 5.8a b = 2.2aa - 5.8
Agora, substituímos b na expressão da área:
A(a) = a cdot 2.2aa - 5.82 A(a) = 2.2a^22(a - 5.8) A(a) = 2.2a^22(a - 5.8) A(a) = 2.2a^22a - 11.6 A(a) = 2.2a^22a - 11.6

Passo 10

Agora, vamos encontrar o valor de a que minimiza a função A(a) = 2.2a^22a - 11.6. Para isso, vamos calcular a derivada de A(a) em relação a a e igualar a zero.
Primeiro, vamos simplificar a função:
A(a) = 2.2a^22a - 11.6 = 2.2a^22(a - 5.8) = 1.1a^2a - 5.8
Agora, calculamos a derivada usando a regra do quociente:
A'(a) = (2 cdot 1.1a)(a - 5.8) - 1.1a^2 cdot 1(a - 5.8)^2 A'(a) = 2.2a(a - 5.8) - 1.1a^2(a - 5.8)^2 A'(a) = 2.2a^2 - 12.76a - 1.1a^2(a - 5.8)^2 A'(a) = 1.1a^2 - 12.76a(a - 5.8)^2
Igualando a derivada a zero para encontrar os pontos críticos:
1.1a^2 - 12.76a = 0 a(1.1a - 12.76) = 0
Portanto, a = 0 ou 1.1a - 12.76 = 0 Rightarrow a = 12.761.1 approx 11.6
Como a = 0 não faz sentido no contexto, temos a approx 11.6.

Passo 11

Com a approx 11.6, vamos encontrar b usando a equação que relaciona a e b:
b = 2.2aa - 5.8 b = 2.2 cdot 11.611.6 - 5.8 b = 25.525.8 b approx 4.4

Passo 12

Agora que temos os interceptos a approx 11.6 e b approx 4.4, podemos escrever a equação da reta:
x11.6 + y4.4 = 1
Podemos simplificar multiplicando todos os termos por 11.6 para eliminar os denominadores:
x + 11.64.4y = 11.6 x + 2.636y = 11.6
Rearranjando para a forma padrão y = mx + c:
2.636y = -x + 11.6 y = -12.636x + 11.62.636 y approx -0.38x + 4.4

Resposta

A equação da reta que passa pelo ponto (5.8, 2.2) e que forma, no primeiro quadrante, o triângulo de menor área possível é aproximadamente:
y = -0.38x + 4.4

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