Encontre a equação da reta que passa pelo ponto
e que, conjuntamente com os eixos
e
, determina, no primeiro quadrante, o triângulo de menor área possível:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar a equação de uma reta que passa pelo ponto
e que, junto com os eixos
e
, forma um triângulo no primeiro quadrante com a menor área possível.
Conteúdo da matéria: Vamos trabalhar com a equação da reta, interseções com os eixos, e otimização de funções para minimizar a área do triângulo.
O que vamos precisar:
- Fórmula da equação da reta.
- Como encontrar os pontos de interseção da reta com os eixos.
- Fórmula da área do triângulo.
- Cálculo de derivadas para encontrar o mínimo da função área.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como é a equação geral da reta que passa por um ponto
e tem inclinação
. A equação pode ser escrita como:
No nosso caso, a reta passa pelo ponto
, então substituímos
e
:
Passo 3
Agora, vamos encontrar os pontos onde essa reta intercepta os eixos
e
.
Interseção com o eixo
(
):
Substituímos
na equação da reta:
Então, o ponto de interseção com o eixo
é
.
Interseção com o eixo
(
):
Substituímos
na equação da reta:
Então, o ponto de interseção com o eixo
é
.
Passo 4
Agora, vamos calcular a área do triângulo formado por esses dois pontos de interseção e a origem
. A área
de um triângulo com base
e altura
é dada por:
Aqui, a base do triângulo é a interseção com o eixo
, que é
, e a altura é a interseção com o eixo
, que é
.
Então, a área é:
Passo 5
Vamos simplificar a expressão da área:
Multiplicando os termos:
Calculando cada termo:
Então:
Passo 6
Queremos minimizar a área
. Mas observando essa expressão, vemos que é uma função linear, que não possui um ponto de mínimo quando
varia sobre todos os números reais. Isso indica que precisamos rever nossa abordagem.
Vamos reconsiderar a expressão da área. Talvez tenhamos simplificado de forma incorreta.
Vamos reescrever a área sem simplificar completamente:
Multiplicando os termos:
De fato, parece que a área está representada por uma função linear. No entanto, no contexto do problema, considerando que a reta está no primeiro quadrante, o coeficiente
deve ser negativo para que a interseção com o eixo
seja positiva. Então, vamos considerar
.
Como
é negativo, podemos reescrever a função usando
, onde
:
Agora,
é uma função linear crescente em
. Para minimizar a área, precisamos minimizar
, ou seja, maximizar
dentro das restrições do problema.
Passo 7
Como estamos buscando a reta que passa pelo ponto
no primeiro quadrante com a menor área, vamos perceber que a menor área ocorre quando a reta é tangente ao triângulo formado.
Isso significa que a menor área acontece quando a reta passa pelo ponto
e suas interseções com os eixos estão “mais próximas” possível desse ponto, formando o menor triângulo possível.
Uma abordagem mais eficaz seria usar o conceito de similaridade de triângulos ou derivadas para encontrar o mínimo.
Vamos então parametrizar a reta de forma diferente, usando interceptos.
Passo 8
Vamos assumir que a reta intercepta o eixo
em
e o eixo
em
. Então, a equação da reta pode ser escrita como:
Como a reta passa pelo ponto
, substituímos na equação:
Queremos minimizar a área do triângulo formado pelos interceptos, que é:
Passo 9
Vamos expressar uma das variáveis em termos da outra usando a equação da reta. Vamos isolar
:
Agora, substituímos
na expressão da área:
Passo 10
Agora, vamos encontrar o valor de
que minimiza a função
. Para isso, vamos calcular a derivada de
em relação a
e igualar a zero.
Primeiro, vamos simplificar a função:
Agora, calculamos a derivada usando a regra do quociente:
Igualando a derivada a zero para encontrar os pontos críticos:
Portanto,
ou
Como
não faz sentido no contexto, temos
.
Passo 11
Com
, vamos encontrar
usando a equação que relaciona
e
:
Passo 12
Agora que temos os interceptos
e
, podemos escrever a equação da reta:
Podemos simplificar multiplicando todos os termos por 11.6 para eliminar os denominadores:
Rearranjando para a forma padrão
:
Resposta
A equação da reta que passa pelo ponto
e que forma, no primeiro quadrante, o triângulo de menor área possível é aproximadamente: