O objetivo desta questão é determinar os valores de a e b na função f(x)=a x^2+b x+15 x^2-x e analisar o comportamento dessa função.
Responda cada uma das seguintes afirmações.
A função f(x) é crescente para:

Passo 1

Vamos dar uma resumida no que a gente tem aqui. A gente tem uma função f(x) = a x^2 + b x + 15 x^2 - x e precisamos descobrir os valores de a e b . Além disso, queremos entender como essa função se comporta, especificamente em quais intervalos ela está aumentando.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa a função estar aumentando. Uma função f(x) é crescente em um intervalo se, conforme x aumenta, f(x) também aumenta. Para descobrir isso, vamos precisar calcular a derivada da função f(x) , que nos mostra a taxa de variação de f(x) .

Passo 3

Vamos calcular a derivada de f(x) usando a regra do quociente. A regra do quociente diz que se temos f(x) = u(x)v(x) , então a derivada f'(x) é:
f'(x) = u'(x) v(x) - u(x) v'(x)[v(x)]^2
No nosso caso, u(x) = a x^2 + b x + 1 e v(x) = 5 x^2 - x .

Passo 4

Vamos encontrar as derivadas de u(x) e v(x) :
u'(x) = 2 a x + b
v'(x) = 10 x - 1

Passo 5

Agora, aplicando a regra do quociente:
f'(x) = (2 a x + b)(5 x^2 - x) - (a x^2 + b x + 1)(10 x - 1)(5 x^2 - x)^2
Vamos simplificar o numerador:
(2 a x + b)(5 x^2 - x) = 10 a x^3 - 2 a x^2 + 5 b x^2 - b x
(a x^2 + b x + 1)(10 x - 1) = 10 a x^3 - a x^2 + 10 b x^2 - b x + 10 x - 1
Subtraindo as duas expressões:
(10 a x^3 - 2 a x^2 + 5 b x^2 - b x) - (10 a x^3 - a x^2 + 10 b x^2 - b x + 10 x - 1) = (-a x^2 - 5 b x^2 -10 x + 1)
Então:
f'(x) = -a x^2 - 5 b x^2 -10 x + 1(5 x^2 - x)^2

Passo 6

Para que a função f(x) seja crescente, a derivada f'(x) precisa ser positiva:
-a x^2 - 5 b x^2 -10 x + 1(5 x^2 - x)^2 > 0
O denominador (5 x^2 - x)^2 é sempre positivo, então basta o numerador ser positivo:
- a x^2 - 5 b x^2 -10 x + 1 > 0

Passo 7

Vamos simplificar a inequação:
-(a + 5 b) x^2 -10 x + 1 > 0
Multiplicando ambos os lados por -1 (lembrando que ao multiplicar por um número negativo, a desigualdade inverte o sentido):
(a + 5 b) x^2 +10 x - 1 < 0

Passo 8

Para que essa inequação seja satisfeita, o polinômio quadrático (a + 5 b) x^2 +10 x - 1 precisa ser menor que zero. Isso depende do valor de a + 5 b e das raízes da equação quadrática.
Vamos precisar de mais informações ou condições para determinar os valores específicos de a e b . Sem essas informações adicionais, não conseguimos finalizar a determinação de a e b .

Resposta

Não é possível determinar os valores de a e b com as informações fornecidas. São necessárias condições adicionais para resolver a questão.

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