Determine os limites
lim x 0 sen xx^3-x^2

Passo 1

O enunciado pede para calcular
limxto0sen xx^3-x^2
O conteúdo aqui é limite de função que tende a um ponto em que o denominador se anula, gerando uma possível descontinuidade infinita. Vamos usar dois ingredientes principais: fatorar o denominador e aproximar sen x por sua série de Taylor inicial, isto é, sen xapprox x quando xto0.

Passo 2

Começamos fatorando o denominador:
x^3-x^2=x^2(x-1)
Logo, nosso quociente fica
sen xx^3-x^2 =sen xx^2(x-1)

Passo 3

Para x muito próximo de zero, vale sen x = x + o(x). Logo,
sen xx^2(x-1) simxx^2(x-1) =1x(x-1)
Agora analisamos os sinais em cada um dos lados de 0:
  • Se xto0^+, então x>0 pequeno e x-1approx -1. Assim 1x(x-1)approx1xcdot(-1)=-1xto -infty
  • Se xto0^-, então x<0 pequeno e x-1approx -1. Assim 1x(x-1)approx-1xto +infty

Passo 4

Visto que
limxto0^+sen xx^3-x^2=-infty e limxto0^-sen xx^3-x^2=+infty,
não existe um único valor (nem mesmo infinito nos dois lados) para o limite bilateral.

Resposta

limxto0^+sen xx^3-x^2=-infty, limxto0^-sen xx^3-x^2=+infty, logo limxto0sen xx^3-x^2 não existe ã

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