Determine os limites
lim x^2-12 x+4 quando x -2^+ ; x 1^+ ; x -2^- ; x 0^-.

Passo 1

O enunciado pede os limites unilaterais da função
f(x)=x^2-12x+4
nos pontos xto -2^+, xto 1^+, xto -2^- e xto 0^-. O conteúdo é cálculo de limites de uma função racional, usando fatoração, análise de sinal para limites verticais e substituição para pontos de continuidade.

Passo 2

Vamos fatorar o numerador e identificar o domínio de f.
x^2-1=(x-1)(x+1)
Logo
f(x)=(x-1)(x+1)2(x+2),
e o domínio é todos os xneq -2, pois aí o denominador se anula.

Passo 3

Para xto -2 temos denominador 2(x+2)to 0 e numerador (x-1)(x+1)to(-2-1)(-2+1)=3>0.
  • Se xto -2^+, então x+2>0 muito pequeno, logo 2(x+2)to0^+ e
(x-1)(x+1)2(x+2)to +infty
  • Se xto -2^-, então x+2<0 muito pequeno, logo 2(x+2)to0^- e
(x-1)(x+1)2(x+2)to -infty

Passo 4

Em x=1 a função é contínua porque o denominador 2(1+2)=6neq0. Logo
limxto1^+x^2-12x+4=1^2-12cdot1+4=06=0

Passo 5

Em x=0 também temos continuidade ( 2cdot0+4=4neq0). Assim
limxto0^-x^2-12x+4=0^2-12cdot0+4=-14=-14

Resposta

limxto-2^+x^2-12x+4=+infty
limxto1^+x^2-12x+4=0
limxto-2^-x^2-12x+4=-infty
limxto0^-x^2-12x+4=-14

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