Determine os limites
lim x^2-3 x+2x^3-2 x^2 quando x 0^+ ; x 2^- ; x 2^+ ; x 2.

Passo 1

O enunciado pede os limites unilaterais e o limite em x=2 da função
f(x)=x^2-3x+2x^3-2x^2
O conteúdo aqui é cálculo de limites, em particular fatoração de polinômios, cancelamento de fatores e análise de sinais para limites que tendem a infinito.

Passo 2

Fatoramos numerador e denominador:
x^2-3x+2=(x-1)(x-2), x^3-2x^2=x^2(x-2)
Para xneq0,,2 podemos cancelar (x-2), obtendo
f(x)=x-1x^2

Passo 3

Calculamos limxto0^+f(x). Ao usar f(x)=(x-1)/x^2, para xto0^+ o numerador (x-1)to-1 é negativo e o denominador x^2to0^+ é positivo, logo
limxto0^+x^2-3x+2x^3-2x^2 =limxto0^+x-1x^2 =-infty

Passo 4

Agora limxto2^-f(x) e limxto2^+f(x). Como para xneq2 vale f(x)=(x-1)/x^2, basta substituir x=2:
2-12^2=14
Logo
limxto2^-x^2-3x+2x^3-2x^2 =limxto2^+x^2-3x+2x^3-2x^2 =14

Passo 5

Como as laterais em x=2 coincidem, o limite em x=2 existe e vale
limxto2x^2-3x+2x^3-2x^2 =14

Resposta

limxto0^+x^2-3x+2x^3-2x^2=-infty
limxto2^-x^2-3x+2x^3-2x^2=tfrac14
limxto2^+x^2-3x+2x^3-2x^2=tfrac14
limxto2x^2-3x+2x^3-2x^2=tfrac14

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