Encontre a solução da EDO de Bernoulli.
x d yd x+y=y^-2, x neq 0

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial de Bernoulli:
x dydx + y = y^-2, x neq 0
Isso significa que a gente vai precisar usar o método específico para equações de Bernoulli, que é uma técnica para resolver equações que têm a forma dydx + P(x)y = Q(x)y^n. Aqui, P(x) e Q(x) são funções de x, e n é um expoente. Vamos seguir os passos para resolver isso!

Passo 2

Primeiro, vamos colocar a equação na forma padrão de Bernoulli. Começamos dividindo todos os termos por x para isolar dydx:
dydx + 1xy = 1xy^-2
Agora, temos:
  • P(x) = 1x
  • Q(x) = 1x
  • n = -2

Passo 3

O próximo passo é fazer uma substituição para transformar essa equação não linear em uma linear. Usamos:
z = y^1 - n = y^1 - (-2) = y^3
Agora, precisamos encontrar dzdx em termos de y e dydx.

Passo 4

Calculamos a derivada de z em relação a x usando a regra da cadeia:
dzdx = 3y^2 dydx
Isso nos ajuda a substituir dydx na equação original.

Passo 5

Agora, substituímos dydx na equação original:
dzdx = 3y^2 (1xy^-2 - 1xy)
Simplificando os termos:
dzdx = 3x - 3xy^3
Sabendo que z = y^3, podemos substituir:
dzdx + 3xz = 3x

Passo 6

Agora, temos uma equação diferencial linear em z:
dzdx + 3xz = 3x
Para resolver isso, usamos o fator integrante. Calculamos:
mu(x) = e^integral 3x dx = e^3 ln x = x^3

Passo 7

Multiplicamos toda a equação pelo fator integrante x^3:
x^3dzdx + 3x^2z = 3x^2
Isso nos permite escrever o lado esquerdo como a derivada de (x^3z):
ddx(x^3z) = 3x^2

Passo 8

Integramos ambos os lados em relação a x:
x^3z = integral 3x^2 dx = x^3 + C
Onde C é a constante de integração.

Passo 9

Resolvendo para z:
z = 1 + Cx^3
Lembrando que z = y^3, substituímos de volta:

Passo 10

y^3 = 1 + Cx^3
Para encontrar y, tiramos a raiz cúbica de ambos os lados:
y = (1 + Cx^3)^13

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
y = (1 + Cx^3)^13
onde C é uma constante arbitrária.

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