Encontre a solução da EDO de Bernoulli.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial de Bernoulli:
Isso significa que a gente vai precisar usar o método específico para equações de Bernoulli, que é uma técnica para resolver equações que têm a forma
. Aqui,
e
são funções de
, e
é um expoente. Vamos seguir os passos para resolver isso!
Passo 2
Primeiro, vamos colocar a equação na forma padrão de Bernoulli. Começamos dividindo todos os termos por
para isolar
:
Agora, temos:
Passo 3
O próximo passo é fazer uma substituição para transformar essa equação não linear em uma linear. Usamos:
Agora, precisamos encontrar
em termos de
e
.
Passo 4
Calculamos a derivada de
em relação a
usando a regra da cadeia:
Isso nos ajuda a substituir
na equação original.
Passo 5
Agora, substituímos
na equação original:
Simplificando os termos:
Sabendo que
, podemos substituir:
Passo 6
Agora, temos uma equação diferencial linear em
:
Para resolver isso, usamos o fator integrante. Calculamos:
Passo 7
Multiplicamos toda a equação pelo fator integrante
:
Isso nos permite escrever o lado esquerdo como a derivada de
:
Passo 8
Integramos ambos os lados em relação a
:
Onde
é a constante de integração.
Passo 9
Resolvendo para
:
Lembrando que
, substituímos de volta:
Passo 10
Para encontrar
, tiramos a raiz cúbica de ambos os lados:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
onde
é uma constante arbitrária.