Determine os limites
lim xx^2-1 quando x 1^+ ; x 1^- ; x -1^+ ; x -1^-.

Passo 1

O enunciado pede para calcular os limites unilaterais da função
f(x) = xx^2-1
quando xto1^+, xto1^-, xto-1^+ e xto-1^-. O conteúdo é limite de função racional com assíntotas verticais em x=pm1. Para resolver, vamos analisar o sinal do numerador e do denominador próximos a esses pontos.

Passo 2

Analisando xto1: o denominador fatoriza-se como
x^2-1 = (x-1)(x+1)
Para x>1 (caso xto1^+), temos
  • numerador x>0,
  • fator (x-1)>0,
  • fator (x+1)>0,
    logo o denominador é positivo e tende a zero. Assim
limxto1^+xx^2-1 = +infty
Para x<1 mas perto de 1 (caso xto1^-), o numerador continua positivo e (x-1)<0 torna o denominador negativo e pequeno, logo
limxto1^-xx^2-1 = -infty

Passo 3

Analisando xto-1: novamente x^2-1=(x-1)(x+1).
Para x>-1 (caso xto-1^+), escolhemos xapprox-1^+:
  • numerador x<0,
  • fator (x+1)>0,
  • fator (x-1)<0,
    então o denominador é negativo (produto de um positivo por um negativo) e pequeno, e o numerador também é negativo, resultando em cociente positivo que tende a +infty:
limxto-1^+xx^2-1 = +infty
Para x<-1 (caso xto-1^-), temos
  • numerador x<0,
  • ambos (x+1)<0 e (x-1)<0 deixam o denominador positivo e pequeno,
    logo o quociente é negativo e cresce em módulo, dando
limxto-1^-xx^2-1 = -infty

Resposta

limxto1^+xx^2-1 = +infty,
limxto1^-xx^2-1 = -infty,
limxto-1^+xx^2-1 = +infty,
limxto-1^-xx^2-1 = -infty

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