Determine os limites
lim (1x^1 / 3-1(x-1)^4 / 3) quando x 0^+ ; x 0^- ; x 1^+ ; x 1^-.

Passo 1

O enunciado pede os limites laterais da função
f(x)=1x^1/3-1(x-1)^4/3
nos pontos x=0 e x=1.
Conteúdo: cálculo de limites laterais e propriedades de potências fracionárias em R.
Importante:
x^1/3=raiz[3]x (raiz cúbica preserva o sinal de (x)), ú
(x-1)^4/3=l((x-1)^4r)^1/3=|x-1|^4/3 (expoente (tfrac43) anula o sinal de (x-1))

Passo 2

Limite quando xto0^+.
Para x>0 pequeno temos x^1/3to0^+, logo
1x^1/3;longrightarrow;+infty
Enquanto isso, x-1to-1 e
(x-1)^4/3=|x-1|^4/3longrightarrow1^4/3=1,
então
1(x-1)^4/3;longrightarrow;1
Assim
limxto0^+f(x)=+infty - 1 = +infty

Passo 3

Limite quando xto0^-.
Para x<0 pequeno temos x^1/3to0^-, então
1x^1/3;longrightarrow;- infty
O segundo termo continua tendendo a 1 como no caso anterior. Logo
limxto0^-f(x)=-infty - 1 = -infty

Passo 4

Limite quando xto1^+.
Para x>1 perto de 1 temos x^1/3to1 e portanto
1x^1/3;longrightarrow;1
x-1to0^+ faz
(x-1)^4/3=|x-1|^4/3to0, 1(x-1)^4/3to+infty
Logo
limxto1^+f(x)=1 - (+infty) = -infty

Passo 5

Limite quando xto1^-.
Para x<1 perto de 1 o termo 1/x^1/3to1 e
(x-1)^4/3=|x-1|^4/3to0, 1(x-1)^4/3to+infty
Portanto
limxto1^-f(x)=1 - (+infty) = -infty

Resposta

limxto0^+l(1x^1/3 - 1(x-1)^4/3r) = +infty, limxto0^-l(1x^1/3 - 1(x-1)^4/3r) = -infty,
limxto1^+l(1x^1/3 - 1(x-1)^4/3r) = -infty, limxto1^-l(1x^1/3 - 1(x-1)^4/3r) = -infty

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