Encontre os pontos de máximo (xmax ) e de mínimo (xmin ), bem como os valores f(xmax ) e f(xmin ), máximo e mínimo, de cada função f(x) dada, no intervalo indicado.
f(x)=x1-x^2, x neq pm 1.
Resposta. f não tem valor máximo e nem mínimo.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar os pontos de máximo xmax e de mínimo xmin, bem como os valores ,f(xmax) e ,f(xmin), da função
f(x)=x1-x^2, xneq pm 1,
em seu domínio. Para isso vamos usar derivadas para identificar pontos críticos e depois analisar o comportamento em cada intervalo de continuidade.

Passo 2

Calculamos a derivada de f por quociente:
f'(x) =(1-x^2)cdot 1 - xcdot(-2x)(1-x^2)^2 =1 - x^2 + 2x^2(1-x^2)^2 =1 + x^2(1-x^2)^2

Passo 3

Note que ,1 + x^2>0 para todo x real e (1-x^2)^2>0 sempre que xneqpm1. Portanto
f'(x)>0para todo xneqpm1,
ou seja, f é estritamente crescente em cada um dos intervalos de seu domínio: (-infty,-1), ( -1,1) e (1,infty).

Passo 4

Em cada intervalo de crescimento, não há pontos críticos internos (derivada nunca zera). Restam as “bordas” de cada ramo, mas como são abertos ( pm 1 não pertencem à função e pminfty não são pontos no domínio), só há comportamentos assintóticos:
  • Em (-infty,-1), f(x) cresce de limxto-inftyf(x)=0^+ até limxto -1^-f(x)=+infty.
  • Em (-1,1), f(x) cresce de limxto -1^+f(x)=-infty até limxto 1^-f(x)=+infty.
  • Em (1,infty), f(x) cresce de limxto1^+f(x)=-infty até limxto+inftyf(x)=0^-.
Em nenhum desses ramos surge máximo ou mínimo finito.

Resposta

A função não possui ponto de máximo nem ponto de mínimo em seu domínio.

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