Determine se os limites abaixo existem, no caso que não, explique, no caso que sim, calcule.
\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{4 x y^{2}}{x^{2}+y^{4}};

Passo 1

O enunciado pede para verificar a existência do limite de uma função de duas variáveis em torno de (0,0), ou seja, é um problema de limites de funções de várias variáveis. Para mostrar que o limite não existe, basta encontrar duas trajetórias de aproximação a (0,0) que produzam valores diferentes para a função
f(x,y)=\frac{4xy^{2}}{x^{2}+y^{4}}.

Passo 2

Considere a trajetória y=0. Substituindo em f, temos
f(x,0)=\frac{4\,x\,(0)^{2}}{x^{2}+(0)^{4}}=0.
Ao nos aproximarmos de (0,0) por esta trajetória, o valor da função tende a
\lim_{(x,0)\to(0,0)}f(x,0)=0.

Passo 3

Agora, escolha a trajetória x=y^{2}. Substituindo em f, fica
f(y^{2},y) =\frac{4\,(y^{2})\,y^{2}}{(y^{2})^{2}+y^{4}} =\frac{4\,y^{4}}{y^{4}+y^{4}} =\frac{4\,y^{4}}{2\,y^{4}} =2.
Ao nos aproximarmos de (0,0) por x=y^{2}, o valor da função tende a
\lim_{y\to 0}f(y^{2},y)=2.

Passo 4

Como pelas duas trajetórias obtivemos limites diferentes ( 0 e 2), o limite geral não existe. No caso de funções de duas variáveis, a existência do limite exige que todas as trajetórias dêem o mesmo valor.

Resposta

O limite não existe.

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